שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 3

למה?

הדט' של פ"מ שווה לפ"מ בחזקת n??

מה?

ד"ר צבאן כתב שהדט' של פולינום מינימלי שווה לפולינום המימינלי (כפול I) בחזקתn (http://math-wiki.com/images/9/9b/Charpolydivminpoly%5En.pdf, סוף המסמך), ואני שאלתי- למה זה? תודה!

(לא מתרגל/ת): כי [math]\displaystyle{ |m_A(x)I|=\begin{vmatrix}m_A(x)&0&\cdots&0\\0&m_A(x)&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&m_A(x)\end{vmatrix} }[/math] וזו מטריצה אלכסונית, לכן = למכפלת אברי האלכסון הראשי. אור שחף^שיחה 23:28, 22 בנובמבר 2010 (IST)

תודה!!

נכונות טענה

שלום רב,

האם הטענה הבאה נכונה: "אם שתי מטריצות דומות זו לזו, אז יש להן אותם פולינום האופייני ופולינום המינימלי. לכן, כדי שמטריצה תהיה לכסינה, צריכים להיות לה פולינום אופייני ומינימלי זהים לאלו של מטריצה אלכסונית". במילים אחרות, הטענה אומרת שמטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] (מגודל [math]\displaystyle{ nXn }[/math]) לכסינה אם:

1. [math]\displaystyle{ P_A(x)=(x-a_1)^{k_1}...(x-a_i)^{k_i} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ k_1+...+k_i = n }[/math]

2. [math]\displaystyle{ m_A(x)=(x-a_1)...(x-a_i) }[/math].

תודה! גל א.

קשר בין לכסינות לבין הפולינום המינימלי --ארז שיינר 22:02, 22 בנובמבר 2010 (IST)

אפשר להשתמש במשפט הזה (מבלי להוכיח אותו שוב)? אור שחף^שיחה 22:12, 22 בנובמבר 2010 (IST)

אני רק אדגיש שאני הפנתי לדף באתר משנה שעברה, אני לא יודע אם מותר לכם להשתמש בזה. --ארז שיינר 22:19, 22 בנובמבר 2010 (IST)

עדי: תסתכל בארכיון2, עניתי על זה, ריבויי שורשי הפ"א הם 1 בפ"מ. שזה גם מה שאומר המשפט של ארז ושלך. כן, אפשר להשתמש בזה, למדנו את זה גם בתירגול.

5.22 לגבי ה-trace

שלום רב, אני חושב שאני יודע איך ה-trace של המט', אך רק מתוך אינטואיציה, מישהו יכול להיות אולי רמז לדרך הפתרון? תודה שקד רטר

עדי: חשוב על משהו אחר שמשותף למט' דומות והסק מסקנה על העיקבה שלהן תודה!!! שקד רטר 09:54, 23 בנובמבר 2010 (IST)

תיקונים בחוברת של ד"ר צבאן

בעמ' 95 תרגיל 1.1, אמור להיות כתוב u,v "עם או בלי אינדקסים" במקום "עם או בלי סקלרים", נכון? והחלק שיותר חשוב לשיעורי הבית, ב1.4 ב' ו-ג', המ"פ הן מתרגיל 1.3, לא 1.1, נכון? תודה

עדי: 1.1:כן.

1.4:גם כן.

שאלה 1.9

מה הם הוקטורים הסטנדרטיים ב [math]\displaystyle{ C^n }[/math]? (כלומר e_1 לדוגמה, שווה ל [math]\displaystyle{ (1,0,..,0) }[/math] או למשהו אחר?) עריכה-עוד שאלה בנושא: האם ניתן להתייחס לוקטורים הסט' ei כוקטורי שורות? כי אם לא, אז יהיה חלק בתרגיל שיהיה קשה לביצוע, מכיוון שv הוא סכום של וקטורי עמודות, וכדי לכפול אותו במטריצה מימין יש להתייחס לשורותיו ולא לעמודותיו... תודה!

אני לא מתרגל, אבל לדעתי הרעיון בוקטרים מעל שדה הוא שיש לך, כמו שאמרת, את הוקטורים e1, e2, ... en מעל כל שדה, וזה שיש לך i לא אמור לשנות לך.

לא הבנתי...

עדי:נכון מאוד. הכוונה שאתה יכול ליצור כל וקטור מרוכב מצרוף לינארי של e1,...,en כאשר i הוא אחר הסקלרים האפשריים.

לגבי החלק השני, למה החלטת שאלו וקטורי עמודות? כמובן שאם דורשים [math]\displaystyle{ vAu^* }[/math] אז הוקטורים מוגדרים כך שהמכפלה ביניהם מוגדרת.

פעלתי לפי הרמז, וכדי לחשב את האגף עם המטריצות, צריך לעשות את כפל A עם v משמאל- ולפי הרמז, צריך לכתוב את v כסכום של הוקטורים הסטנדרטיים, שבדרך כלל אנחנו מתייחסים אליהם כוקטורי עמודה ולא שורה, ולכן שאלתי אם אפשר הפעם להתחייס אליהם כוקטורי שורה. אם כן אפשר להתחייס אליהם כוקטורי שורה, אז נראה לי שצריך להשתמש בכפל שורה שורה כדי לבדוק את הכפל... לא?(ראי שאלה למטה).

למה וקטור שורה כפול מטריצה הוא שורה שורה? עושים כרגיל שורה כפול עמודה ומקבלים שוב וקטור.

• דוגמא

תודה!

כפל שורה שורה

מישהו יכול בבקשה לרשום את החוק "כפל שורה-שורה"? (אם אני זוכר נכון יש לו 2 סעיפים). אני לא מצליח למצוא אותו בשום מקום. תודה!

בקשר למה זה?

חשבתי לנסות להשתמש בזה בתרגיל 1.9, בכפל v עם A.

אז למה שורה-שורה? תפעל לפי הרמז, לפני שאתה ניגש לפיתרון היזכר מה משאירה מכפלה של מטריצה בוקטור שורה [math]\displaystyle{ e_i }[/math] משמאל ומה משאירה מכפלה של מטריצה בוקטור עמודה [math]\displaystyle{ e_j }[/math] מימין.

שאלה 1.13

השאלה אומרת שיש שלושה וקטורים שבמכפלה פנימית עם עצמם שווים ל- 1- ועם אחד מהאחרים שווים ל- 3. צ"ל שסכומם הוא אפס. הכוונה בתרגיל היא שיש מרחב מכפלה פנימית שפועל כך או שאלו ארבע וקטורים מיוחדים במכפלה הסטנדרטית שמקיימים את התנאים? או אלי בכלל אנחנו לא יודעים על איזו מכפלה סקלרית מדובר וצריך להוכיח רק לפי ההגדרות?

תודה מראש!

עדי: לא עבור מכפלה ספציפית. עבור מ"פ כלשהי על 4 וקטורים ספציפיים. כן,לפי הגדרות.

1.13

אפשר רמז לתרגיל 1.13? אין לי מושג מאיפה להתחיל בכלל...

תנסה לחשב את המכפלה הפנימית של סכום ארבעת הוקטורים ;)

ווואי פתאום זה כל כך קל! תודה רבה!!!

בכיף ;)

הרצאה ותרגול בחנוכה

האם יתקיימו הרצאה ושיעור תרגול בחנוכה?

לקבוצה של ד"ר צבאן לא יתקיימו שיעורים בלינארית בכלל, רק התרגול באינפי שנקבע מולנו. גל

עדי: בעיקרון זה תלוי בהספק שלנו בתירגול הקרוב אבל כפי שנראה כרגע לא, רק בוחן ב9/12.

עבודת ההגשה לחנוכה

איפה היא? לא מצאתי אותה בעמוד הראשי, למרות שכתוב שהיא נמצאת שם. אור שחף^שיחה 18:56, 25 בנובמבר 2010 (IST)

בתרגילים

1.9- הבהרה

האם הכוונה ב- [math]\displaystyle{ e_{1},...,e_{n} }[/math] היא לווקטורי הבסיס הסטנדרטי?

כן

שאלה חשובה לגבי 1.9

אפשר בבקשה מהם הוקטורים הסטנדרטיים בC^n במפורש? זה חשוב, כדי צריך לדעת מהם הצמודים להם. לדוגמה, אם הוקטורים הסט' בC הם כמו בR, כלומר [math]\displaystyle{ e1=(1,0,..) }[/math] וכו', אז הצמוד של זה הוא הוקטור עצמו, אבל הוקטור הסט' בC הוא [math]\displaystyle{ e1=(1+i,0,..) }[/math] אז כבר הצמוד של זה הוא משהו אחר. תודה מראש

עדי: [math]\displaystyle{ (1+i,0,..)=(1+i)e_1 }[/math] כלומר הם הוקטורים הסט' הרגילים עם מקדמים מעל שדה המרוכבים

ז"א שהצמוד של e1 שווה לe1, נכון?

כן, באופן כללי הצמוד של [math]\displaystyle{ ke_i }[/math] הוא הצמוד של k כפול [math]\displaystyle{ e_i }[/math].

למה זה רלוונטי לשאלה זו?

כי בחישוב של u כוכבית הייתי צריך לחשב את הצמודים של הוקטורים הסט'- לא משנה- הסתדרתי- תודה רבה

שאלה 1.6

האם בשאלה 1.6 אפשר למצוא את ערכי אלפא בתלות ב-[math]\displaystyle{ x_1, x_2 }[/math] מהם בנויים הוקטורים (לדוגמה מהצורה [math]\displaystyle{ \alpha=(x_1+x_2)/(x_1*x_2) }[/math], או שחייבים למצוא ערך מספרי (לדוגמה מהצורה [math]\displaystyle{ \alpha=3 }[/math])? תודה, גל א.

(לא מתרגל/ת): ל-[math]\displaystyle{ \alpha }[/math] חייב להיות תחום קבוע. מכפלה פנימית מוגדרת לכל [math]\displaystyle{ v\in\mbox{dom}(\langle\ ,\ \rangle) }[/math] ([math]\displaystyle{ \langle\ ,\ \rangle }[/math] היא פונקציית המ"פ), כלומר לכל [math]\displaystyle{ (x_1,x_2),\ (y_1,y_2) }[/math]. אור שחף^שיחה 23:08, 29 בנובמבר 2010 (IST)

רמז ל 1.6

אתם יכולים להשתמש בטענה המוצגת ב 1.7:

[math]\displaystyle{ \lt v,u\gt :=vAu^t }[/math] היא מ"פ

אמ"מ

[math]\displaystyle{ A=A^t }[/math] , [math]\displaystyle{ a_{11},a_{22}\gt 0 }[/math] , [math]\displaystyle{ |A|\gt 0 }[/math].

שאלה לגבי הרמז

יכולים זה "יכולים בלי בוכחה" או "יכולים אבל דרוש הוכחה"?

אפשר להשתמש בזה בלי הוכחה

שאלה 1.4

סעיף ב': לא הבנתי איך מחשבים מכפלה פנימית של מטריצות ומה הקשר לתרגיל 1.1(ג)? סעיף ג': לא הבנתי איזה מ"ו זה ומעל איזה שדה? מה הקשר ל1.1(ד) ומה הם a,b?

יועיל לך לעיין כאן. -לידור.א.- 22:28, 29 בנובמבר 2010 (IST)

     אההה חחח.. עכשיו הכל מסתדר לי! תודה (:

אני יודע מה זה צמוד של מספר מרוכב אבל מה זה צמוד של מטריצה ושל פולינום???

(לא מתרגל/ת): הצמוד של פולינום הוא [math]\displaystyle{ \forall x:\ \bar f(x):=\overline{f(x)} }[/math]. הצמוד של מטריצה A, שיסומן B, מקיים [math]\displaystyle{ \forall i,j:\ b_{i,j}:=\overline{a_{i,j}} }[/math]. אור שחף^שיחה 23:13, 29 בנובמבר 2010 (IST)

הבנתי את ההצמדה של מטריצות אבל לא את מה שרשמת על פולינום, את יכולה לתת לי דוגמא אולי? למשל אם יש לי את הפולינום שבתרגיל X-2 מה זה הצמוד שלו?

הצמוד של פולינום מתקבל מהצמדת כל המקדמים שלו (ללא שום קשר למשתנה). למשל, הצמוד של הפולינום [math]\displaystyle{ \ f(z) = z^2 - (1+i)z + 3i }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \ \bar{f}(z) = z^2 - (1-i)z - 3i }[/math]. עוזי ו. 22:14, 30 בנובמבר 2010 (IST)

שאלה 1.9

בסעיף ג' די להביא דומא נגדית - אני לא טועה? ואם כן אז עבור A=A* אפשר להביא סתם מטריצה לא כזו שאיבריה הם מ"פ??

בקשת הבהרה

שלום רב, אבקש להבהיר עמכם את הנושאים הבאים:

• עבודת המרצים לחנוכה - כתוב הגשה בתאריך 13/12 אבל זהו יום שני בו אין לימודים בקורס. האם כוונתכם היא שיש להגישה ב-12/12 (יום א) או 14/12 (יום ג)?

ב14/12 זה בסדר

• השלמה לתרגול 8 - כוונתכם שהתרגול הוא מהתאריך 30/12 ולא כפי שאמור להיות כתוב (30/11)...

תוקן

• הבוחן - בקטע של הוכחת המשפטים - האם ייתכן משפט מלינארית 1 או שרק מלינארית 2? אותו כנ"ל עבור הקטע של שאלות משל שיעורי הבית (האם תתכנה שאלות גם מהשיעורים שניתנו לנו בלינארית 1?) ושל שאלות מהמבחנים באתר של ד"ר צבאן (האם תתכנה שאלות ממבחן בלינארית 1, או שאלות שמצויות במבחן בלינארית 2 אך קשורות רק לחומר שנלמד בלינארית 1?). עם זאת אבקש להבהיר שכוונתי בשאילת השאלה הזו היא לא האם עליי ללמוד/לא ללמוד את החומר מלינארית 1, שהרי ברור לי שהחומר בקורס זה מבוסס עליו...

משפטים ותרגילים מקורס זה, שאלה מהמבחנים:יכול להופיע תחת כותרת "לנארית 1"או "לנארית 2" ובלבד שזה חומר הנלמד בקורס זה (וממילא כפי שאמרת מבוסס על חומר קודם)

תודה רבה, גל א.

לגבי שאלות מהמבחנים

כוונתך היא בעצם ששאלה יכולה להופיע אם התוכן שלה נלמד בקרוס זה (לינארית 2) אבל בלי קשר למבחן שבו היא מופיעה (ברור לי שייתכן שהשתנה סדר הלימוד וכל אלה ולכן ייתכן שיש שאלה במחבן ישן של לינארית 1 שיתאם את החומר שנלמד בקורס זה)? תודה מראש!

שאלה על סכום ישר של תת מרחבים

בעבודה לחנוכה, כשהגדרתם סכום ישר של תת מרחבים, כל מה שאמרתם זה שהחיתוך של תתי המרחבים (בזוגות) הוא וקטור האפס, כלומר הסברתם רק את החלק של ה-"ישר" ב-"סכום ישר". אבל מה בכלל זה אומר "סכום" של תת מרחבים? מצאתי לזה כמה הגדרות שונות אז אני רוצה להיות בטוח. תודה

תשובה

סכום של שני תתי מרחבים מוגדר באופן הבא: [math]\displaystyle{ U+W=\{u+w|u\in U,w\in W\} }[/math]. כלומר, כל הסכומים האפשרים בין וקטור מU לוקטור מW. אומרים שהסכום בין U וW הוא ישר, אם החיתוך ביניהם הוא אפס (כפי שאמרת) ואז מסמנים [math]\displaystyle{ U+W=U\oplus W }[/math].

על מנת להוכיח ש[math]\displaystyle{ V=U\oplus W }[/math] יש להוכיח ששני התנאים הבאים מתקיימים:

1. [math]\displaystyle{ U \cap W = \{0\} }[/math]

2. [math]\displaystyle{ V=U+W }[/math]

--ארז שיינר 17:36, 2 בדצמבר 2010 (IST)

בנוסף, נכון לומר ש U+W הינו תת המרחב הקטן ביותר שמכיל גם את U וגם את W (קל לראות שזה נכון מתוך סגירות לחיבור) --ארז שיינר 17:37, 2 בדצמבר 2010 (IST)

תודה!

עוד שאלה קטנה ויכול להיות שלא ממש חכמה

הקבוצה [math]\displaystyle{ \{x \in R| -3\lt x\lt 3\} }[/math] יכולה להיות תת מרחב של R? או קבוצת כל הממשיים האי שליליים? או שלא בגלל תכונות כפל בסקלר וכאלה?

כמו שאמרת- לא, בגלל כפל בסקלר. תכפול ב2 ותקבל מספרים קרוב ל6, שאינם בקבוצה. בנוסף R הוא ממימד 1 מעל עצמו, ולכן לא יכול להיות לא שום תת מרחב פרט למרחב האפס (כי תת מרחב אמיתי הוא ממימד קטן ממש, כפי שלמדנו). --ארז שיינר 20:32, 2 בדצמבר 2010 (IST)

אז אני מתקשה מאוד למצוא את תתי המרחבים הדרושים בתרגיל 2 כשאר V=R^2. לפי המגבלות שציינת, התתי מרחבים היחדים שאני מצליח למצוא הם מרחב ה0, מרחב כל הזוגות (x,0) ומרחב כל הזוגות (0,y), ואם אני לא טועה, הסכום של שלושתם כן ישר...

הזוגות מהצורה (x,x) לא מהוות תת מרחב?

תודה רבה!!

תרגיל 8

למתי אמורים להגיש את תרגיל 8 ? החומר שיש בו הוא לא לבוחן, נכון?

רשום ונכון

אה ולגבי עבודת ההגשה, כתוב: "כדי להתרגל להגדרה, שכנע את עצמך בעובדות הבאות". הכוונה לכך שצריך להוכיח אותן, או פשוט לקרוא ולהפנים?

זה לא בתרגיל, לא צריך לעשות את זה..

מה ז"א "זה לא בתרגיל"?

שאלה על סכום מרחבים וקטוריים

יש סיכוי ש [math]\displaystyle{ span{U1,..,Uk} \in U1\oplus ..\oplus Uk }[/math] (הכוונה שלי היא למוכל, לא שייך). ? תודה!

אתה מתכוון לspan של האיחוד? הרי הביטויים האלה ממש שווים. הסכום הישר הוא המרחב הקטן ביותר שמכיל את כל תתי המרחבים עליהם סוכמים (כלומר מכיל את האיחוד שלהם), ואנחנו יודעים שגם span הוא המרחב הקטן ביותר שמכיל את הקבוצה (ובמקרה זה הקבוצה היא האיחוד). --ארז שיינר 14:46, 3 בדצמבר 2010 (IST)

מעולה! אבל, זה מעלה לי שאלה קטנה: זה לא אומר ש-סכום ישר של כמה קבוצות שווה ל-ספאן שלהן? כי אם כן, אז למה בכלל היו צריכים להגדיר את הסכום הישר?

שאלה מהעבודה מסעיף 3 ("קשרים ביניהם")

הכוונה בהגדרה מ"מתמטיקה בדידה" היא שההגדרה דומה לפונקציה המצומצמת?

ועוד שאלה: מהי הכוונה בתרגיל 5 א. ו-ב. לסכומים של הגרעינים והתמונות? זה סכומים של תתי מרחבים? אם כן, אז רק עכשיו גיליתי שקבוצת הגרעינים והתמונות הם תתי מרחבים!

הגרעין והתמונה הינם תתי מרחבים. קל מאד להוכיח את זה בעזרת הלינאריות של ההעתקה. ושוב, לינארית 1... dimV = dimKer +dimIm, מצלצל מוכר?

תודה!