חדוא 1 - ארז שיינר

88-132 חשבון אינפיניטיסימלי 1

סרטוני ותקציר ההרצאות

פרק 1 - מספרים וחסמים

קבוצות מספרים

• הטבעיים $\mathbb{N}=\{1,2,3,...\}$
• השלמים $\mathbb{Z}=\{0,-1,1,-2,2,...\}$
• הרציונאליים $\mathbb{Q}=\{\frac{p}{n}|p\in \mathbb{Z},n\in \mathbb{N}\}$
• הממשיים $\mathbb{R}$, כל השברים העשרוניים כולל האינסופיים

• העשרה: בנייה של שדה הממשיים באמצעות חתכי דדקינד

• לא קיים $x\in \mathbb{Q}$ כך ש $x^2=2$.
• במילים פשוטות, $\sqrt{2}$ אינו רציונאלי (בהמשך נוכיח שיש מספר ממשי כזה).

חסמים

• תהי $A\subseteq \mathbb{R}$ אזי:
  • $M\in \mathbb{A}$ נקרא המקסימום של A או האיבר הגדול ביותר של A אם לכל $a\in A$ מתקיים כי $a\le M$
  • $M\in \mathbb{R}$ נקרא חסם מלעיל של A אם לכל $a\in A$ מתקיים כי $a\le M$
  • $m\in \mathbb{A}$ נקרא המינימום של A או האיבר הקטן ביותר של A אם לכל $a\in A$ מתקיים כי $a\ge M$
  • $m\in \mathbb{R}$ נקרא חסם מלרע של A אם לכל $a\in A$ מתקיים כי $a\ge M$

• כמו כן:
  • אם יש איבר קטן ביותר בקבוצת חסמי המלעיל של A הוא נקרא החסם העליון של A, או הסופרמום של A ומסומן $sup(A)$
  • אם יש איבר גדול ביותר בקבוצת חסמי המלרע של A הוא נקרא החסם התחתון של A, או האינפימום של A ומסומן $inf(A)$

• בשדה הממשיים לכל קבוצה לא ריקה וחסומה מלעיל יש חסם עליון, ולכל קבוצה לא ריקה וחסומה מלרע יש חסם תחתון.
• בשדה הרציונאליים זה לא נכון; לקבוצה $A=\{x\in \mathbb{Q}|x^2<2\}$ אין מספר רציונאלי קטן ביותר מבין חסמי המלעיל שלה.

• תהי $A\subseteq \mathbb{R}$ ויהי $M\in \mathbb{R}$ אזי:
  • M הוא החסם העליון של A אם ורק אם M הוא חסם מלעיל של A ולכל מספר $M-\epsilon <M$ קיים מספר $a\in A$ כך ש $a>M-\epsilon$
  • m הוא החסם התחתון של A אם ורק אם m הוא חסם מלרע של A ולכל מספר $m<m+\epsilon$ קיים מספר $a\in A$ כך ש $a<m+\epsilon$