שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 11

שלילת הגבול של פונקציה

אפשר את ההגדרה של שלילת גבול של פונקציה תודה

תשובה

שלילת הגבול לפי קושי:

[math]\displaystyle{ \lim_{x-\gt x_0}f(x)\neq L }[/math] אם קיים [math]\displaystyle{ \epsilon \gt 0 }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ \delta \gt 0 }[/math] קיים x כך ש [math]\displaystyle{ 0\lt |x-x_0|\lt \delta }[/math] עבורו מתקיים [math]\displaystyle{ |f(x)-L|\geq \epsilon }[/math]

שלילות הגבול לפי היינה:

1. [math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)\neq L }[/math] אם קיימת סדרה [math]\displaystyle{ x_0\neq x_n \rightarrow x_0 }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ \lim f(x_n)\neq L }[/math].

2. אם קיימות שתי סדרות [math]\displaystyle{ x_0\neq x_n,y_n \rightarrow x_0 }[/math] כך שמתקיים [math]\displaystyle{ \lim f(x_n)\neq \lim f(y_n) }[/math] אזי אין גבול לf בנקודה x_0

3. אם קיימת סדרה [math]\displaystyle{ x_0\neq x_n \rightarrow x_0 }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ \lim f(x_n) }[/math] לא קיים, אזי אין גבול לf בנקודה x_0

תרגיל 8, שאלה 3.

לא הבנתי איך אמורים להוכיח בעזרת היינה את הגבול של הפונקציה הנתונה, הרי המרצה גם אמר לנו במפורש שאי אפשר להוכיח גבולות בעזרת היינה, מכיוון שאי אפשר להוכיח משהו על כל הסדרות בעולם, ושתמיד צריך להוכיח אם קושי. ? אם אי אפשר להוכיח על כל הסדרות בעולם אז אי אפשר להוכיח לפי היינה.... אבל בשאלה הזאת אתה כן מוכיח לכל הסדרות בעולם... (שמתכנסות לאפס מין הסתם)

תשובה

אפשר להוכיח דברים על כל הסדרות בעולם שמתכנסות לאפס, יש לנו משפטים כאלה. זה לא שאי אפשר אלא שבדר"כ זה קשה יותר. כאן זה לא... --ארז שיינר 01:27, 17 בדצמבר 2010 (IST)

הצלחתי- והאמת שבקלות! תודה רבה!

תרגול 9, שאלה 3

הגבול של [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] הוא ממשי או שגם יכול להיות אינסוף? תודה, גל.

ממשי --ארז שיינר 01:29, 17 בדצמבר 2010 (IST)

תרגיל 9 שאלה 5

האם נכון להוכיח באופן הבא? נסמן את הפונקציה F ב Y ואז הגבול של G כאשר X שואף לX אפס שווה לגבול של G של Y כאשר Y שואף לA . וז מכיון ש G רציפה ב A גבולה בA שווה לערכה בA

לא, זו לא הוכחה, זה מה שצריך להוכיח. צריך באמצעות אפסילון ודלתא... --ארז שיינר 23:47, 17 בדצמבר 2010 (IST)

הוכחתי באמצעות היינה, האם זה יתקבל?

אם זה נכון, זה סבבה. --ארז שיינר 22:04, 18 בדצמבר 2010 (IST)

שאלה, האם מותר להשתמש בזהות בטריגונומטרית

מותר להשתמש בזהות הטריגונומטרית שעבור זויות [math]\displaystyle{ a }[/math] קטנות [math]\displaystyle{ sina\approx 0 }[/math]? (שמדובר בקטנות הכוונה היא ששואפים ל-0) תודה, שקד רטר 21:58, 17 בדצמבר 2010 (IST)

לא יודע מה אומר הסימון הזה. אפשר להשתמש בכך ש[math]\displaystyle{ sin0=0 }[/math] כמובן, וכמו כן מותר להשתמש בעובדה ש [math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{x}=1 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cosx}{x}=0 }[/math] --ארז שיינר 00:36, 18 בדצמבר 2010 (IST)

התבלבלתי בכתיבה התכוונתי ש-[math]\displaystyle{ sina=a }[/math], והסימון מתכוון שכמעט מתקיים שוויון

מה זה כמעט שיוויון? אני מניח שאתה מתכוון לגבול המצויין לעיל. --ארז שיינר 12:38, 18 בדצמבר 2010 (IST)

אני מתכוון ש< math>sina</math> שואף ל-0 וגם [math]\displaystyle{ a }[/math] שואף ל-0 אז אפשר להגיד ש- [math]\displaystyle{ sina=a }[/math] ? סליחה אם לא הייתי מובן זה פשוט תכונה שלמדתי בפיזיקה פעם,השאלה היא פשוט האם מותר להיעזר בזה...תודה

לא, מותר להשתמש בגבולות שציינתי למעלה. השיוויון שרשמת אינו נכון (אתה יכול להציב ערכים קטנים במחשבון ולראות שזה לא שווה). --ארז שיינר 22:03, 18 בדצמבר 2010 (IST)

תרגיל 9 - שאלה 4א'

שלום,

רציתי לדעת אם הדרך שלי היא נכונה. אני רוצה להוכיח שהגבולות החד צדדיים של [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] שווים ושווים ל-0 וביחד עם הנתון ש-f רציפה ב-0 לקבוע ש[math]\displaystyle{ f(0)=0 }[/math]. בעיקרון אני אומר ככה:
1) לכל [math]\displaystyle{ \epsilon \gt 0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ \delta_1 \gt 0 }[/math] כך שאם [math]\displaystyle{ x\gt 0 }[/math] ומתקיים [math]\displaystyle{ x\lt \delta_1 }[/math] אז מתקיים [math]\displaystyle{ |f(x)|\lt \epsilon }[/math]
2) לכל [math]\displaystyle{ \epsilon \gt 0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ \delta_2 \gt 0 }[/math] כך שאם [math]\displaystyle{ 0\gt x }[/math] ומתקיים [math]\displaystyle{ x\lt \delta_2 }[/math] אז מתקיים [math]\displaystyle{ |f(x)|\lt \epsilon }[/math]

נקח [math]\displaystyle{ \delta = min(\delta_1,\delta_2) }[/math] ולכן לפי הנתון ש-[math]\displaystyle{ f(x) = -f(-x) }[/math] אם [math]\displaystyle{ x \lt \delta }[/math] וזה גורר ש[math]\displaystyle{ |f(x)| \lt \epsilon }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ lim f(x) = 0 }[/math] ומכיוון ש-[math]\displaystyle{ f(x) }[/math] רציפה ב-x=0 אזי [math]\displaystyle{ f(0) = lim f(x) = 0 }[/math]

האם זה בסדר?

(לא מתרגל) אני מניח שהתבלבלת בכתיבת טענותיך, שכן חלק מהתנאים שלך לא הגיוניים. לדוגמה בטענה השנייה שלך כתבת "קיים [math]\displaystyle{ \delta_2 \gt 0 }[/math] כך שאם [math]\displaystyle{ 0\gt x }[/math] ומתקיים [math]\displaystyle{ x\gt \delta_2 }[/math]", דבר שהוא בלתי אפשרי שכן x לא יכול להיות גם קטן מ0 וגם גדול מדלתא 2 שגדול מ0. -לידור.א.- 15:27, 18 בדצמבר 2010 (IST)

נכון, טעיתי בכתיבת הטענות ועכשיו תיקנתי. אשמח אם תוכל שוב לבחון את המקרה לאחר תיקון הטעויות. תודה רבה

אני לא מבין מאיפה הגיעו טענות 1 ו2, הן לא נובעות ישירות מהנתון. כמו כן, בטענה 2 הייתי מצפה לראות [math]\displaystyle{ 0\lt -x\lt \delta_2 }[/math] ולא [math]\displaystyle{ x\lt \delta_2 }[/math] כי זה חסר משמעות למספר שלילי --ארז שיינר 16:22, 18 בדצמבר 2010 (IST)

בטענה 2 הגדרתי את X להיות קטן מאפס אבל אפשר שX יהיה גדול מאפס ואז באמת [math]\displaystyle{ -x\lt \delta_2 }[/math].
טענות 1,2 הם עבור הגבולות החד צדדיים. אני מנסה להראות שהגבולות החד צדדיים קיימים ושווים ל-0. הקטע הוא שהנתון שמאפשר לי לטעון את זה, זה בעצם ש-f רציפה באפס ולכן זה אומר ש-[math]\displaystyle{ f(0) = limf(x) }[/math] מכך אני יודע שהגבול של f, כש-x שואף ל-0, קיים ולכן הגבולות החד צדדים של f קיימים. מפה אני טוען שהגבול הוא בעצם שווה ל-0 וזה רק לפתח הגדרתית את הגבולות החד צדדים ולהשתמש בנתון ש-[math]\displaystyle{ f(x) = -f(-x) }[/math] ובכך להראות שהטענה שהגבול שווה ל-0 נכונה. כלומר זה מה שחשבתי לעשות.

גם מההגדרה [math]\displaystyle{ 0\lt -x\lt \delta_2 }[/math] נובע שx שלילי. ועדיין אתה רוצה לתת תנאי על הגודל שלו, מה הטעם להגיד שמספר שלילי קטן ממספר חיובי? זה תמיד נכון. לגבי השאר, בטענות שלך צריך להיות רשום [math]\displaystyle{ |f(x)-f(0)|\lt \epsilon }[/math] אתה לא יכול להניח שהגבול הוא אפס כי זה לא נתון --ארז שיינר 19:54, 18 בדצמבר 2010 (IST)

שואל אחר: האם מותר להשתמש בטענה (ללא הוכחה) שלכל פונקציה g, אם [math]\displaystyle{ \lim_{x\to0^+}g(x) }[/math] קיים אז הוא שווה ל-[math]\displaystyle{ \lim_{x\to0^-}g(-x) }[/math], נכון?

לא, צריך להוכיח את זה פה. --ארז שיינר 22:02, 18 בדצמבר 2010 (IST)

תרגיל 8 שאלה 5

האם נתון ש-x>=0 ? תודה.

(לא מתרגל) אין בתרגיל איזשהו X ספציפי. מה שכן אתה יכול די בקלות לדאוג לכך שהסביבה המנוקבת של 1 איתה תתעסק תהיה כך שכל x בה יהיה חיובי, ואם השאלה היא בנוגע להיות השורש מוגדר בסביבה אז עבור סביבה כנ"ל הפונקציה תהיה מוגדרת לכל x בסביבה המנוקבת. -לידור.א.- 16:34, 18 בדצמבר 2010 (IST)

תודה, רק מה זה סביבה מנוקבת?

סביבה מנוקבת של [math]\displaystyle{ x0 }[/math] היא סביבה של [math]\displaystyle{ x0 }[/math] ללא [math]\displaystyle{ x0 }[/math] שקד רטר 18:23, 18 בדצמבר 2010 (IST)

תרגיל 8 שאלה 6

נתון שהפונקציה מוגדרת וחסומה בקטע [0,1]. מה זה בדיוק אומר? האם זה אומר ש:

לכל x קיים [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] והוא שייך לקטע הזה?

הכוונה היא שערכי הפונ' חסונים בטווח הזה, כלומר הקבוצה [math]\displaystyle{ \left \{ f(x)\mid x\in \left [ 0,1 \right ] \right \} }[/math] היא קבוצה חסומה. שקד רטר 18:45, 18 בדצמבר 2010 (IST)

תרגיל 8 - שאלה 5

האם אפשר להשתמש בגבולות חד-צדדיים?

אם בא לך, סבבה.

אני לא רואה דרך אחרת, בגלל שורש x. הרי לפעמים הוא גדול מ-x ולפעמים קטן ממנו (תלוי אם x גדול מ-1 או קטן מ-1). יש דרך אחרת?

תרגיל 8 - שאלה 6

עבור הפרכה: אפשר לתת דוג' ספציפית עם פונקציה ספציפית?

כן, ככה מפריכים --ארז שיינר 19:58, 18 בדצמבר 2010 (IST)

מותר לי לקבוע תחום פו' כלשהיא כפי רצוני. נגיד להחליט שפו' הזהות תהיה רק בין 0 ל-13.57688?

אני לא מבין מה זה אומר. תחום ההגדרה נתון בשאלה - [0,1] --ארז שיינר 20:35, 18 בדצמבר 2010 (IST)

כן, אבל כשאני מפריך אני צריך להראות שהפו' שאני נותן בתור הפרכה מקיימת את תחום ההגדרה הנתון בשאלה. לכן, שאלתי אם מותר לי פשוט להגדיר את הפו' שאני נותן בתור הפרכה להיות בתחום הגדרה של השאלה. אז מותר?

כל עוד היא מוגדרת בתוך התחום הנדרש, לא מעניין אותנו מה קורה מחוץ אליו. --ארז שיינר 22:05, 18 בדצמבר 2010 (IST)

תרגיל 9 שאלה 6 E

חשבתי על זה שעות ואפילו הצבתי במחשבון גרפי,אבל עדיין לא מצאתי כלום. לפי מה שהגעתי אליו אין הבדל בנקודות אי הרציפות בין D לE.אף על פי ההעלאה בריבוע. האם אני צודק,או אפשר לקבל רמז כלשהו

מה ההבדל בין [math]\displaystyle{ \lim_{x-\gt 0}\frac{1}{x} }[/math] לבין [math]\displaystyle{ \lim_{x-\gt 0}\frac{1}{x^2} }[/math]? --ארז שיינר 20:45, 18 בדצמבר 2010 (IST)

ההבדל הוא ש [math]\displaystyle{ \lim_{x-\gt 0}\frac{1}{x^2} }[/math] שואף יותר מהר לאינסוף.

ההבדל הוא ש[math]\displaystyle{ \lim_{x-\gt 0}\frac{1}{x} }[/math] אינו מתכנס במובן הרחב לאינסוף כלל --ארז שיינר 22:53, 18 בדצמבר 2010 (IST)

קומפקטיות

ארז אתה יכול בבקשה להסביר את המושג של קומפקטיות ומה זה אומר כיסוי פתוח/ כיסוי סגור? תודה!

תשובה

תהי קבוצה A, כיסוי פתוח הוא קבוצה של קטעים פתוחים [math]\displaystyle{ U_i }[/math] כך שA מוכל באיחוד שלהם.

דוגמאות:

[math]\displaystyle{ \{(-2,0),(0,2)\} }[/math] היא כיסוי פתוח של [math]\displaystyle{ (-1,1) }[/math].
[math]\displaystyle{ \{(\frac{1}{n},1)|n\in\mathbb{N}\} }[/math] היא כיסוי פתוח של [math]\displaystyle{ (0,1) }[/math]

קבוצה A נקראית קומפקטית אם מכל כיסוי שלה, ניתן להוציא תת כיסוי סופי. כלומר, מתוך אוסף הקטעים של הכיסוי ניתן לבחור מספר סופי של קטעים שיהוו כיסוי של A.

תרגיל 10

מתי יעלה תרגיל 10 לאתר? תודה :)

תרגיל 10 שאלה 7 C

הפונקציה DX תמיד תתן ערכים של 1 או 0 ולכן DX פחות 1 בריבוע כפול 2 יתן או אפס או 2 ואז הפונקציה תמיד מוגדרת ואין שום מכנה שיכול להתאפס.. אז איך יכול להיות שיש שם נק' אי רציפות?? תודה!!

האם Dx רציפה בכלל? --ארז שיינר 14:04, 21 בדצמבר 2010 (IST)

אוקי, היא לא רציפה באמת ואז מה?? אז אין תשובה לסעיף?? (כלומר התשובה היא שהפונקציה בכלל לא רציפה, יש להוכיח זאת..)

צריך לחשוב. איך נראית הפונקציה הסופית? האם היא רציפה? --ארז שיינר 13:23, 22 בדצמבר 2010 (IST)

שאלה 7 סעיף ג

אוקי, היא לא רציפה באמת ואז מה?? אז אין תשובה לסעיף?? (כלומר התשובה היא שהפונקציה בכלל לא רציפה, יש להוכיח זאת..?)

ראה למעלה. צריך למצוא נקודות אי רציפות, וכמובן שאם יש נקודת אי רציפות צריך להוכיח שהיא כזו ולהגיד מאיזה סוג. --ארז שיינר 13:24, 22 בדצמבר 2010 (IST)

2 שאלות על תרגיל 9

בתרגיל 2, אפשר לפתור לפי כללי הצבה בפונקציה וכו', נכון? (לא חייבים לפי הגדרה)? ובתרגיל 6, מה זה אומר למיין נקודות אי רציפות? למצוא את כל נקודות אי הרציפות ולכתוב מאיזה סוג הן?

כן, אפשר להשתמש במשפטים כמו הרכבה, אריתמטיקה וגבולות ידועים. וכן, צריך למצוא את נקודות אי הרציפות ולהראות מאיזה סוג הן (סליקה, ראשון או שני) --ארז שיינר 20:52, 22 בדצמבר 2010 (IST)

שאלה על דבר מההרצאה- רציפות במידה שווה

לא הבנתי מה זה אומר רציפות במידה שווה. אפשר הסבר לגבי מה זה אומר ולמה צריך את זה, כלומר הסבר מה זה "בתכלס" (ולא פשוט להביא לי את ההגדרה שרשומה אצלי)? תודה רבה מראש

לפונקציה שמתכנסת לגבול אפשר להגדיר "מהירות". מהירות היא כמה קטן צריך להיות הדלתא עבור כל אפסילון. אפשר לראות את זה בחדות של העליה או ירידה של הפונקציה. רציפות במ"ש מתרחשת כאשר מהירות התכנסות הפונקציה מוגבלת בקטע. --ארז שיינר 19:34, 23 בדצמבר 2010 (IST)