88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/12

• [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\ln\big(\cos(n^{-|\alpha|})\big) }[/math]

פתרון: נסתכל רק על [math]\displaystyle{ \alpha \geq 0 }[/math] בגלל הערך המוחלט (ואז נוותר על הערך המוחלט):

כיוון ש [math]\displaystyle{ \lim\left[\cos(n^{-\alpha})-1\right]n^{2\alpha}=\lim\frac{\left[\cos(n^{-\alpha})-1\right]}{\left(n^{-\alpha}\right)^{2}}=-\frac{1}{2} }[/math]

נקבל, בשילוב עם כלל e ש [math]\displaystyle{ \cos(n^{-\alpha})^{n^{2\alpha}}=e^{\lim\left[\cos(n^{-\alpha})-1\right]n^{2\alpha}}=e^{-\frac{1}{2}} }[/math]

ונקבל ש

[math]\displaystyle{ \frac{\ln\left(\cos(n^{-\alpha})\right)}{n^{-2\alpha}}=n^{2\alpha}\cdot\ln\left(\cos(n^{-\alpha})\right)=\ln\left(\cos(n^{-\alpha})^{n^{2\alpha}}\right) \to -\frac{1}{2} }[/math]

ולכן הטור שבשאלה חבר של הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2\alpha}} }[/math] שמתכנס אמ"מ [math]\displaystyle{ 2\alpha \gt 1 }[/math] כלומר [math]\displaystyle{ \alpha \gt 0.5 }[/math]