משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/27.2.11
...
הכללה: אם ואם f אינטגרבילית ב-
אז
. הוכחה באינדוקציה.
מוסכמות:
-
- אם
ואם f אינטגרבילית ב-
נרשום
עם מוסכמות אלה יתקיים:
. באופן בלתי תלוי בסדר של המספרים a,b,c.
למשל: אם
אז לפי משפט 8
. נבדוק:
ולכן
, מה שנכון כי
.
תוכן עניינים
משפט 9
תהי מוגדרת וחסומה ב-
. עוד נניח ש-f רציפה ב-
. אזי f אינטגרבילית ב-
.
הוכחה
יהי נתון. נגדיר
גרף (1). לפי הנתון f רציפה ב-
. לכן נוכל לבחור חלוקה P של
כך ש-
. כעת גדיר חלוקה Q של
ע"י
. עוד נגדיר
וכן
. נובע ש-
. נובע ממשפט 4 ש-f אינטגרבילית ב-
.
מסקנה 1
המשפט נכון אם f חסומה ורציפה ב-.
מסקנה 2
נניח ש-f חסומה ב- ורציפה שם פרט למספר סופי של נקודות
כך ש-
אזי f אינטגרבילית ב-
.
הוכחה
עבור כל k, f חסומה ב- ורציפה ב-
. לפי מסקנה 1 f אינטגרבילית ב-
. נסתמך על מסקנה למשפט 8 לומר ש-f אינטגרבילית ב-
.
הגדרה: אומרים ש- "רציפה למקוטעין" ב-
אם היא רציפה שם פרט למספר סופי של נקודות אי-רציפות ממין ראשון.
גרף (2)
נובע ממסקנה 2 שכל פונקציה רציפה למקוטעין ב-
אינטגרבילית שם. באופן דומה אפשר להוכיח שאם
מוגדרת ומונוטונית למקוטעין ב-
אך היא אינטגרבילית שם שם.
אינטגרביליות לפי רימן
נניח ש- מוגדרת וחסומה ב-
. נבחר חלוקה P של
. עוד נבחר מספרים
ונכנה ב-P' את התת חלוקה
. ז"א
. בהתאם לכן נבנה סכום רימן
כאשר לכל k מתקיים
.
גרף (3)
מקרב את השטח שמתחת לגרף, ולא ידוע אם הוא גדול, קטן או שווה לשטח שמתחת לגרף.
נעיר שעל חלוקה אחת P של אפשר לבנות אינסוף סכומי רימן
. עם זאת יתקיים תמיד
. יתר על כן,
ו-
.
ההגדרת רימן: תהי מוגדרת וחסומה ב-
. נאמר ש-f אינטגרבילית ב-
אם כאשר
כל סכומי רימן
שואפים לגבול אחד, שיסומן
.
משפט 10
תהי f מוגדרת וחסומה ב-. אזי f אינטגרבילית שם לפי רימן אם"ם f אינטגרבילית שם לפי דרבו, ואם כן אז
לפי רימן
לפי דרבו.
הוכחה
תחילה נניח ש-f אינטגרבילית לפי דרבו. נעיר שלכל חלוקה P ותת חלוקה P' של :
. כעת נשאיף
. כיוון ש-f אינטגרבילית דרבו,
וכן
לכן משפט הסנדויץ' מבטיח ש-
קיים ושווה ל-
. ז"א f אינטגרבילית רימן ומתקיים
. לצד השני, נניח ש-f אינטגרבילית רימן. אזי מתקיים
. אם כן הוא גם שווה ל-
. מצאנו
. עצם זה שהאינטגרל העליון והתחתון שווים אומר ש-f אינטגרבילית דרבו וגם מצאנו:
.
באופן דומה נסיק
משפט 11
נניח ש-f ו-g מוגדרות ואינטגרביליות ב-[a,b], ונניח ש-c קבוע כלשהו. אזי:
-
אינטגרבילית ב-[a,b] ומתקיים
- אם
לכל
אז
(מונוטוניות). בפרט אם
אז
(חיוביות)
-
אינטגרבילית ומתקיים
ואם
ב-
אז
- אם
(פונקציה קבועה) אז
...
. נשאיף
כיוון שנתון ש-f ו-g אינטגרביליות אגף ימין שואף לגבול, ז"א
. עצם קיום הגבול אומר ש-
אינטגרבילית ולפי ערך הגבול נסיק