נושא ראשון:
אינטגרציה

הערה: האינטגרל הוא לא שטח שמתחת לגרף. למעשה, השטח מתחת לגרף מוגדר לפי האינטגרל.

דוגמת חישוב (ידני) של שטח שמתחת לגרף

נתון הגרף (1) של y=x². נחשב את השטח שמתחת לו. לצורך כך נחשב תחילה את השטח של המלבנים הגדולים והמלבנים הקטנים (החוסמים והחסומים).

ברור שסכום שטחי המלבנים גדול משטח הגרף. נחלק את הקטע [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math]:

[math]\displaystyle{ 0=x_0\lt x_1\lt x_2\lt \dots\lt x_n=1 }[/math]

(באופן כללי [math]\displaystyle{ x_k=k/n }[/math])

מעל כל תת קטע קטן [math]\displaystyle{ [x_{k-1},x_k] }[/math] נבנה "מלבן חוסם" שגובהו [math]\displaystyle{ \left({k\over n}\right)^2=x_k^2 }[/math]. ביחד מלבנים אלו יוצרים שטח חוסם [math]\displaystyle{ \overline S:=\sum_{k=1}^n\frac1n\left({k\over n}\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3} }[/math]

כמו כן, מעל כל קטע קטן [math]\displaystyle{ [x_{k-1},x_k] }[/math] נבנה "מלבן חסום" שגובהו [math]\displaystyle{ \left({k-1\over n}\right)^2=x_{k-1}^2 }[/math] ביחד מלבנים אלה מהווים שטח חסום [math]\displaystyle{ \underline S:=\frac1n\sum_{k=1}^n\left({k-1\over n}\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^n(k-1)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^{n-1}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3} }[/math]

כעת אם A מציין את השטח שמתחת לגרף בוודאי ש-[math]\displaystyle{ \underline S\le A\le\overline S }[/math], ז"א [math]\displaystyle{ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}\le A\le\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3} }[/math]. הדבר נכון לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] ולכן נוכל להשאיף את [math]\displaystyle{ n\to\infty }[/math] ולקבל [math]\displaystyle{ \frac13\le A\le\frac13 }[/math], לכן [math]\displaystyle{ A=\frac13 }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

הגדרה: תהי [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] מוגדרת בקטע I. נאמר שהפונקציה [math]\displaystyle{ F(x) }[/math] קדומה ל-f ב-I אם [math]\displaystyle{ \forall x\in I:\ F'(x)=f(x) }[/math].

דוגמה: אם [math]\displaystyle{ f(x)=x^2 }[/math] אז [math]\displaystyle{ F(x)=\frac{x^3}3 }[/math].

משפט 0

אם [math]\displaystyle{ F(x) }[/math] ו-[math]\displaystyle{ G(x) }[/math] קדומות ל-[math]\displaystyle{ f(x) }[/math] בקטע I אז קיים קבוע c כך ש-[math]\displaystyle{ F(x)=G(x)+c }[/math]

הוכחה

נגדיר [math]\displaystyle{ H(x)=F(x)-G(x) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \forall x\in I:\ H'(x)=F'(x)-G'(x)=f(x)-f(x)=0 }[/math]. לפי תוצאה ממשפט לגרנג' [math]\displaystyle{ F(x)-G(x)=H(x)=c\implies F(x)=G(x)+c }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

הגדרה: תהי [math]\displaystyle{ f(x)\ge0 }[/math] רציפה בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. נסמן ב-[math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f }[/math] את השטח שמתחת לגרף.

המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי (בצורה אינטואיטיבית)

תהי [math]\displaystyle{ f(x)\ge0 }[/math] מוגדרת ורציפה ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math].

לכל [math]\displaystyle{ x\in[a,b] }[/math] נגדיר [math]\displaystyle{ A(x)=\int\limits_a^x f }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \forall x\in[a,b]:\ f(x)=A'(x) }[/math].
אם [math]\displaystyle{ F(x) }[/math] קדומה ל-[math]\displaystyle{ f(x) }[/math] ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] אז [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f=F(b)-F(a) }[/math].

הוכחה

גרף (3). רואים ש-[math]\displaystyle{ A(a)=0 }[/math] וננסה להוכיח ש-[math]\displaystyle{ A(b)=\int\limits_a^b f }[/math]. יהי x נתון. כעת לפי ההגדרה [math]\displaystyle{ A'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x} }[/math]. בציור: [math]\displaystyle{ A(x+\Delta x)-A(x) }[/math] = שטח הארובה, [math]\displaystyle{ \Delta x }[/math] = בסיס הארובה, לכן [math]\displaystyle{ \frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x} }[/math] = הגובה הממוצע של הארובה. לכן [math]\displaystyle{ A'(x) }[/math] = הגובה הממוצע כאשר [math]\displaystyle{ \Delta x\to0 }[/math] =[math]\displaystyle{ f(x) }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
נתונה פונקציה קדומה [math]\displaystyle{ F(x) }[/math]. מחלק 1 ידוע גם ש-[math]\displaystyle{ A(x) }[/math] פונקציה קדומה. לפי משפט 0 יש קבוע c כך ש-[math]\displaystyle{ F(x)=A(x)+c }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ F(b)-F(a)=A(b)+c-(\underbrace{A(a)}_{=0}+c)=A(b)=\int\limits_a^b f }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

האינטגרל לפי דרבו

הקדמה - הגדרות

תהי [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] מוגדרת וחסומה ע"י [math]\displaystyle{ m:=\inf f(x) }[/math] ו- [math]\displaystyle{ M:=\sup f(x) }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. נגדיר את התנודה של f ע"י [math]\displaystyle{ \Omega=M-m }[/math]. כעת נגדיר חלוקה P של [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]:

[math]\displaystyle{ a=x_0\lt x_1\lt \dots\lt x_n=b }[/math]

עוד נגדיר לכל [math]\displaystyle{ k }[/math] את אורך תת קטע מספר k להיות [math]\displaystyle{ \Delta x_k=x_k-x_{k-1} }[/math] ואת הפרמטר של P להיות [math]\displaystyle{ \lambda(P):=\max_{k=1}^n\Delta x_k }[/math].

לכל k כך ש-[math]\displaystyle{ 1\le k\le n }[/math] נגדיר [math]\displaystyle{ M_k:=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\} }[/math] וכן [math]\displaystyle{ m_k:=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\} }[/math].

גרף (4).

בהתאם לכך נגדיר:

שטח חוסם - הסכום העליון: [math]\displaystyle{ \overline S(f,P)=\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k }[/math]
שטח חסום - הסכום התחתון: [math]\displaystyle{ \underline S(A,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k }[/math]

משפט 1

בסימונים הנ"ל, עבור כל חלוקה P מתקיים [math]\displaystyle{ m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\overline S(f,P)\le M(b-a) }[/math].

הוכחה

[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^n\Delta x_k }[/math] = סכום כל הרווחים בין n נקודות החלוקה = b-a	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^n m\Delta x_k }[/math]	[math]\displaystyle{ = }[/math]	[math]\displaystyle{ m(b-a) }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
לכל k מתקיים [math]\displaystyle{ m\le m_k }[/math].	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k=\underline S(f,P) }[/math]	[math]\displaystyle{ \le }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^n M_k \Delta x_k=\overline S(f,P) }[/math]	[math]\displaystyle{ \le }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^n M\Delta x_k }[/math]	[math]\displaystyle{ \le }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ M(b-a) }[/math]	[math]\displaystyle{ = }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

נשים לב כי לפי משפט 1 המספרים [math]\displaystyle{ \overline S(f,P),\underline S(f,P) }[/math] חסומים מלעיל ומלרע באופן ב"ת (בלתי תלוי) ב-P (אבל בוודאי תלוי ב-f).

לכן מוגדרים היטב ה"אינטגרל העליון" [math]\displaystyle{ \overline{\int}_a^b f:=\inf_P \overline S(f,P) }[/math] ו"האינטגרל התחתון" [math]\displaystyle{ \underline\int_a^b f:=\sup_P \underline S(f,P) }[/math].

הגדרת האינטגרל לפי דרבו

תהי [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] מוגדרת וחסומה ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. נאמר ש-f אינטגרבילית לפי דרבו ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] אם [math]\displaystyle{ \underline\int_a^b f=\overline{\int}_a^b f }[/math] ואם הם שווים אז נגדיר [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f }[/math] להיות הערך המשותף של [math]\displaystyle{ \underline\int f }[/math] ו-[math]\displaystyle{ \overline{\int} f }[/math].

דוגמה

בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] כלשהו נגדיר את פונקצית דיריכלה [math]\displaystyle{ D(x)=\begin{cases}1&x\in\mathbb Q\\0&x\not\in\mathbb Q\end{cases} }[/math]. נקח חלוקה כלשהי ל-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]: [math]\displaystyle{ a=x_0\lt x_1\lt \dots\lt x_n=b }[/math].

לכל k מתקיים [math]\displaystyle{ M_k=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=1 }[/math] וכן [math]\displaystyle{ m_k=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=0 }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ \overline S(f,P)=\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k=\sum_{k=1}^n 1\Delta x_k=b-a }[/math] ואילו [math]\displaystyle{ \underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k=\sum_{k=1}^n 0\Delta x_k=0 }[/math].

מכאן [math]\displaystyle{ \underline\int_a^b f=\sup_P \underline S(f,P)=0 }[/math] ו-[math]\displaystyle{ \overline{\int}_a^b f=\inf_P \overline S(f,P)=b-a }[/math]. הם לא שווים ולכן f לא אינטגרבילית. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

הגדרה: תהי P חלוקה של קטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. חלוקה Q של [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] נקראת עידון או העדנה של P אם Q מכילה את כל נקודות החלוקה של P ועוד נקודות.

משפט 2

תהי [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] מוגדרת וחסומה ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. תהי P חלוקה של [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] ו-Q עידון של P ע"י הוספת r נקודות. אז

[math]\displaystyle{ 0\le\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)\le r\lambda(P)\Omega }[/math]

[math]\displaystyle{ 0\le\underline S(f,Q)-\underline S(f,P)\le r\lambda(P)\Omega }[/math]

(נזכיר ש-[math]\displaystyle{ \lambda(P)=\max_{1\le k\le n}\Delta x_k }[/math] ו-[math]\displaystyle{ \Omega=\sup_{x\in[a,b]} f(x)-\inf_{x\in[a,b]} f(x) }[/math])

כלומר, הסכום העליון יורד והסכום התחתון עולה ע"י עידון אבל השינוי בהם קטן מ-[math]\displaystyle{ r\lambda(P)\Omega }[/math].

הוכחה

מקרה ראשון: [math]\displaystyle{ r=1 }[/math]. ז"א Q מתקבלת מ-P ע"י הוספת נקודה אחת [math]\displaystyle{ x_i' }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ x_{i-1}\lt x_i'\lt x_i }[/math] עבור i כלשהו. בהתאם לכך נגדיר [math]\displaystyle{ M_i^-:=\sup\{f(x):\ x_{i-1}\le x\le x_i'\} }[/math] ו-[math]\displaystyle{ M_i^+:=\sup\{f(x):\ x_i'\le x\le x_i\} }[/math]. כמו כן, לא שינינו כל תת קטע [math]\displaystyle{ [x_{k-1},x_k] }[/math] עבור [math]\displaystyle{ k\not=i }[/math] כלשהו. לכן [math]\displaystyle{ \overline S(f,P)-\overline S(f,Q)=M_i\Delta x_i-\Big(M_i^-(x_i'-x_{i-1})+M_i^+(x_i-x_i')\Big) }[/math]

לפי ההגדרות [math]\displaystyle{ M_i\ge M_i^+,M_i^- }[/math] ולפיכך

[math]\displaystyle{ \begin{align}\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)&\ge M_i\Delta x_i-\Big(M_i(x_i'-x_{i-1})+M_i(x_i-x_i')\Big)\\&=M_i\Big(\Delta x_i-(x_i'-x_{i-1}+x_i-x_i')\Big)\\&=M_i\Big(\Delta x_i-(x_i-x_{i-1})\Big)\\&=0\end{align} }[/math]

את ההמשך עשינו בהרצאה שאחריה:

כמו כן,

[math]\displaystyle{ \begin{align}\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)&\le M_i(x_i-x_{i-1})-m_i(x_i-x_{i-1})\\&=(M_i-m_i)(x_i-x_{i-1})\\&\le\Omega(x_i-x_{i-1})\\&\le\underbrace{r}_{=1}\lambda(P)\Omega\end{align} }[/math]

מקרה כללי: Q מתקבלת מ-P ע"י הוספת r נקודות. נוסיף אותן אחת אחת. הסכום העליון יורד, אבל לא יותר מאשר [math]\displaystyle{ \Omega\lambda(P) }[/math] בכל אחת מ-r המפעמים. לכן מיד נסיק [math]\displaystyle{ 0\le\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)\le r\Omega\lambda(P) }[/math].

ההוכחה לסכום תחתון דומה. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

מסקנה 1

נקח f כנ"ל ונניח ש-P ו-Q הן שתי חלוקות כלשהן של [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \underline S(f,P)\le\overline S(f,Q) }[/math].

הוכחה

נבנה עידון משותף, ז"א [math]\displaystyle{ R=P\cup Q }[/math]. לפי משפט 2 מתקיים [math]\displaystyle{ \underline S(f,P)\le\underline S(f,R)\le \overline S(f,R)\le\overline S(f,Q) }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

מסקנה 2

עבור f כנ"ל מתקיים [math]\displaystyle{ \underline\int_a^b f\le\overline{\int}_a^b f }[/math].

הוכחה

מסקנה 1 אומרת שלכל שתי חלוקות P,Q של [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \underline S(f,P)\le\overline S(f,Q) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \sup_P\underline S(f,P)\le\inf_Q\overline S(f,Q) }[/math]. כמו כן, לפי ההגדרה [math]\displaystyle{ \underline\int_a^b f=\sup_Q\underline S(f,Q) }[/math] ו-[math]\displaystyle{ \inf_P\overline S(f,P)=\overline{\int}_a^b f }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]