הלמה של קנטור
מתוך Math-Wiki
הלמה של קנטור
תהי סדרה של קטעים סגורים המוכלים זה בזה
, כך שאורך הקטעים שואף לאפס. אזי קיימת נקודה יחידה
הנמצאת בכל הקטעים.
הוכחה
נסמן . לפי הנתון שהקטעים מוכלים זה בזה, ניתן להסיק כי
מונוטונית עולה וחסומה על-ידי
, ואילו
מונוטונית יורדת וחסומה על-ידי
.
לכן שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות. כיון שאורך הקטעים שואף לאפס, ולכן גבול הסדרות זהה. נוכיח כי הנקודה
מקיימת את הדרוש.
נניח בשלילה, כי קיים קטע כך ש- . לכן
או
וכיון שאילו סדרות מונוטוניות, הגבול שלהן שונה מ-
בסתירה. (
או
)
לכן הנקודה שייכת לכל הקטעים. נניח והייתה נקודה נוספת
השייכת לכל הקטעים. לכן אורך כל הקטעים הוא לפחות
בסתירה לכך שהאורך שואף לאפס.