שינויים
'''המטרה:''' לחשב שטח מתחת לכל עקומה (כמעט).
חשב את השטח הכלוא בין ציר ה-x לעקומה במקרים הבאים:
# <math>\int\limits_0^5 |x-3|\mathrm dx</math><br/> פתרון: נשים לב להגדרת <math>|x-3|</math> לפיה האינטגרל שווה ל-<math>\int\limits_0^3-(x-3)\mathrm dx+\int\limits_3^5 (x-3)\mathrm dx</math>. גרף (1) מספיק לחשב את השטחים I ו-II. נעשה זאת לפי שטח משולש: עבור I - <math>\int\limits_0^3-(x-3)\mathrm dx=\frac{3\cdot3}2=4.5</math> ועבור II - <math>\int\limits_3^5 (x-3)\mathrm dx=\frac{2\cdot2}2=2</math> ולכן השטח הכולל הוא 6.5. {{משל}}<br />''הערה: '' אם התחום היה , למשל, <math>[4,5]</math> היינו מחשבים יכולים לחשב לפי שטח טרפז.# <math>\int\limits_0^{10} \sqrt{10x-x^2}\mathrm dx</math>. פתרון: נבדוק מהו גרף הפונקציה. נסמן <math>y=\sqrt{10x-x^2}\implies y^2=10x-x^2\implies (x-5)^2+y^2=5^2</math>. קיבלנו מעגל - גרף (2). מסימטריות המעגל אפשר לקחת חצי משטח המעגל. <math>\int\limits_0^{10}\sqrt{10x-x^2}\mathrm dx=\frac{25\pi}2+c</math>{{משל}}# <math>\int\limits_a^b\sqrt\frac{4-x^2}2\mathrm dx</math>, כאשר a,b הם גבולות העקומה. פתרון: נסמן <math>y=\sqrt\frac{4-x^2}2\implies \left(\frac y\sqrt2\right)^2+\left(\frac x2\right)^2</math>. זוהי אליפסה שמרכזה ב-<math>(0,0)</math>. נסמן <math>a=2,\ b=\sqrt2</math> ולפי נוסחה לשטח אליפסה (<math>\pi a b</math>) נקבל <math>2\sqrt2\pi</math> והאינטגרל . האינטגרל הוא מחצית השטח, כלומר <math>\sqrt2\pi</math>.{{משל}}
=האינטגרל הלא מסויים=
'''המטרה:''' להגדיר אינטגרל דרך פונקציה קדומה. : <math>F(x)=\int f(x)\mathrm dx</math> ולכן אפשר להשתמש בכיוון השני של טבלת הגזירה. למשל, <math>\frac{\mathrm d\ln(x)}{\mathrm dx}=\frac1x</math> ולכן <math>\int\frac{\mathrm dx}x=\ln|x|+c</math>
==דוגמה 1 {{הערה|(שיטת פירוק)}}==
חשב <math>\int\frac{2x^4}{1+x^2}\mathrm dx</math>.
===פתרון===
זה שווה ל-{{left|<math>\begin{align}2\int\frac{x^4-1+1}{1+x^2}\mathrm dx&=2\int\left(\frac{(x^2-1)(x^2+1)}{x^2+1}+\frac1{x^2+1}\right)\mathrm dx\\&=2\int(x^2-1)\mathrm dx+2\int\frac{\mathrm dx}{1+x^2}\\&=2\frac{x^3}3-2x+2\arcsin(x)+c\end{align}</math>}}{{משל}}
'''באופן כללי:''' נבדוק מה מאפס את המונה ומה מאפס את המכנה (במקרה הזה לא מתאפס ב-<math>\mathbb R</math>). אם מצטמצם ננסה חילוק פולינומים, אחרת נחפס להציג כקבוע ועוד שארית. דוגמה נוספת: <math>\int\frac{x^2}{x^2+1}\mathrm dx=\int\frac{x^2+1-1}{x^2+1}\mathrm dx</math>.
----
'''שיטת ההצבה:''' <math>\int f(g(x))g'(x)\mathrm dx=F(g(x))+c</math>
חשב <math>\int\sin^5(x)\cos(x)\mathrm dx</math>.
<!--'''באופן כללי: ''' בפונקציות מהצורה <math>\sin^n(x)\cos^m(x)</math> (עבור <math>n,m\in\mathbb N</math>) נשתמש בשיטת ההצבה אם <math>m+n</math> אי זוגי. אם זוגי ננסה להשתמש בזהויות השונות. לדוגמה, באופן הבא:נציב <math>y=\sincos^\frac{m+1}2(x)</math> ואז <math>\mathrm dy=\frac{m+1}2\cos^{\frac{m+1}2-1}(x)\sin(x)\mathrm dx</math> ולכן <math>\sin^n(x)\cos^m(2xx)}2=</math>
---- '''אינטגרציה בחלקים:''' <math>\int f(x)g'(x)\mathrm dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\mathrm dx</math>. ==דוגמה 4===
חשב את האינטגרלים הבאים:
'''מסקנה: ''' במקרה של -f,g יש מספר סופי של נגזרות שונות, ונשתמש נשתמש בשיטה זו.</li></ol>
==דוגמה 5==
<math>\int\frac{3^x}\sqrt{1-9^x}\mathrm dx</math>.
===פתרון===
בשיטת ההצבה, <math>y=3^x\implies\mathrm dy=\frac{3^x}{\ln(3)}\mathrm dx</math> והאינטגרל הנ"ל שווה ל-<math>\frac1{\ln(3)}\int\frac{\mathrm dy}\sqrt{1-y^2}=\frac1{\ln(3)}\arcsin(3^x)+c</math>. {{משל}}