שינויים
המשך יבוא
=מבוא לאינטגרציה נומרית {{הערה|(המשך)}}=
<ol start="3">
<li>שיטת הטרפזים: נעשה חלוקה שווה של <math>[a,b]</math>: <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>, כאשר <math>x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}n=h</math>. חלוקת הקטע <math>[a,b]</math> משרה חלוקת הגרף <math>y=f(x)</math>. נחבר את הנקודות האלה בגרף ע"י קווים ישרים, וכך ניצור איחוד של n טרפזים (במקום מלבנים בשיטה של סכומי רימן), והשטח הכולל של הטרפזים הוא קירוב של האינטגרל. לטרפז שמעל <math>[x_{k-1},x_k]</math> יש רוחב h ושני גבהים <math>f(x_{k-1}),\ f(x_k)</math>. לכן שטח אותו טרפז הוא <math>\frac{f(x_{k-1})+f(x_k)}2h</math>, והקירוב לאינטגרל הוא {{left|<math>\begin{align}\sum_{k=1}^n \frac{f(x_{k-1})+f(x_k)}2h&=h\left(\frac{f(x_0)}2+\frac{f(x_1)}2+\dots+\frac{f(x_n)}2\right)\\&=\left(\frac{f(x_0)}2+\frac{f(x_n)}2\right)h+h\sum_{k=1}^{n-1} f(x_k)\end{align}</math>}}
נותר לחשב את סדר הגודל של הטעות. נסמן לכל פונקציה g <math>I(g)=\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} g(x)\mathrm dx</math> וכן <math>T(g)</math> הקירוב של g ע"י טרפז. עתה נתמקד באחד הקטעים <math>[x_{k-1},x_k]</math> ונעריך את הטעות בו, השווה ל-<math>\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f(x)\mathrm dx-\frac{f(x_{k-1})+f(x_k)}2h=I(f)-T(f)</math>. נשים לב כי אם f לינארית בקטע אז הטעות היא 0.
כעת נניח ש-f בעלת שתי נגזרות רציפות ב-<math>[a,b]</math> ונסמן <math>M=\max_{x\in[a,b]} |f''(x)|</math>. נפתח את f לפיתוח טיילור סביב הנקודה <math>x_{k-1}</math>: <math>f(x)=\underbrace{f(x_{k-1})+f'(x_{k-1})(x-x_{k-1})}_{P(x)}+\underbrace{\frac{f''(c)}2 (x-x_{k-1})^2}_{R(x)}</math>, כאשר P הוא הפיתוח הלינארי של f ו-R השארית ממנו.
לסיכום, עד כה הראינו כי <math>I(f)=I(P)+I(R)</math> ו-<math>T(f)=T(P)+T(R)</math>. לכן השארית <math>I(f)-T(f)</math> היא <math>I(P)-T(P)+I(R)-T(R)</math>, ומכיוון ש-P לינארית <math>I(P)-T(P)=0</math>, כלומר השארית היא <math>I(R)-T(R)</math>. נחשב: {{left|<math>\begin{align}|I(R)|&=\left|\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} \frac{f''(c)}2 (x-x_k)^2\mathrm dx\right|\\&\le\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} \frac{|f''(c)|}2 (x-x_k)^2\mathrm dx\\&\le\frac M2\left[\frac{(x-x_{k-1})^3}3\right]_{x=x_{x-1}}^{x_k}\\&=\frac M2\frac{(x_k-x_{k-1})^3}3\\&=\frac {Mh^3}6\end{align}</math>}}
וכן {{left|<math>\begin{align}T(R)&=\frac{\frac{f''(c)}2 (x_{k-1}-x_{k-1})^2+\frac{f''(c)}2 h^2}2h\\&=\frac{f''(c)(x_k-x_{k-1})^2}4h\\&\le\frac{Mh^3}4\end{align}</math>}}
בסה"כ הטעות בקטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> חסומה ע"י <math>\frac{Mh^3}4+\frac {Mh^3}6</math>. יש n קטעים כאלה, לכן <math>|I(f)-T(f)|\le\frac {5Mh^3}{12}n=\frac {5Mh^2}{12}(b-a)</math>.
</li><li>כלל סימפסון (Simpson's Role): שוב נקרב את <math>\int\limits_a^b f</math> בעזרת חלוקה שווה <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b,\ h=\frac{b-a}n</math>, אלא שהפעם נדרוש ש-n זוגי. הקירוב של סימפסון הוא <math>S(f)=\frac h3\left(f(x_0)+4\sum_{k=1}^{n/2}f(x_{2k-1})+2\sum_{k=1}^{n/2-1}f(x_{2k})+f(x_n)\right)</math>. למעשה, סימפסון מקרב <math>\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f</math> ע"י <math>\frac
h3\Big(f(x_{k-1}+4f(x_k)+f(x_{k+1})\Big)</math>
לפני ההוכחה נציג שתי למות להשכלה כללית (באינפי):
<ul><li>נניח ש-f אינטגרבילית ואי-זוגית בקטע סימטרי <math>[-R,R]</math> אזי <math>\int\limits_{-R}^R f=0</math>.
===הוכחה===
נסמן <math>I_1=\int\limits_{-R}^0 f\ \and\ I_2=\int\limits_0^R f</math> ולכן <math>I_1+I_2=\int\limits_{-R}^R f</math>. ב-<math>I_1</math> נציב <math>t=-x\implies \mathrm dt=-\mathrm dx</math> ונקבל <math>I_1=\int\limits_{-(-R)}^{-0} f(-t)(-\mathrm dt)=-\left(-\int\limits_0^R -f(t)\mathrm dt\right)=-I_2</math>. {{משל}}</li>
<li>נניח ש-f רציפה בסביבה של <math>x_0</math> וגזירה בסביבה מנוקבת של <math>x_0</math>. עוד נניח שקיים <math>\lim_{x\to x_0}f'(x)=L</math>. אזי <math>f'(x_0)</math> קיים ושווה ל-L.
===הוכחה===
לפי ההגדרה, אם f גזירה ב-<math>x_0</math> אזי <math>f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}</math>, ולפי משפט לגראנז' זה שווה ל-<math>\lim_{x\to x_0} f'(c)</math> עבור <math>c</math> כלשהו בין <math>x</math> ל-<math>x_0</math>. לכן, כאשר <math>x\to x_0</math> גם <math>c\to x_0</math> ונקבל <math>L=\lim_{c\to x_0} f'(c)=\lim_{x\to x_0} f'(c)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)</math>. {{משל}}
</li></ul>
נחזור לכלל סימפסון.
==שלב א==
נניח ש-<math>h>0</math> ו-<math>p(x)</math> פולינום ממעלה 3 או פחות. נוכיח ש-<math>\int\limits_{-h}^h p=\frac h3\left(p(-h)+4p(0)+p(h)\right)\implies I(p)=S(p)</math> (כאשר לכל f אינטגרבילית ב-<math>[-h,h]</math> הגדרנו <math>I(f)=\int\limits_{-h}^h f</math>).
</li>
</ol>
<ol start="3">
<li>שיטת הטרפזים: נעשה חלוקה שווה של <math>[a,b]</math>: <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>, כאשר <math>x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}n=h</math>. חלוקת הקטע <math>[a,b]</math> משרה חלוקת הגרף <math>y=f(x)</math>. נחבר את הנקודות האלה בגרף ע"י קווים ישרים, וכך ניצור איחוד של n טרפזים (במקום מלבנים בשיטה של סכומי רימן), והשטח הכולל של הטרפזים הוא קירוב של האינטגרל. לטרפז שמעל <math>[x_{k-1},x_k]</math> יש רוחב h ושני גבהים <math>f(x_{k-1}),\ f(x_k)</math>. לכן שטח אותו טרפז הוא <math>\frac{f(x_{k-1})+f(x_k)}2h</math>, והקירוב לאינטגרל הוא {{left|<math>\begin{align}\sum_{k=1}^n \frac{f(x_{k-1})+f(x_k)}2h&=h\left(\frac{f(x_0)}2+\frac{f(x_1)}2+\dots+\frac{f(x_n)}2\right)\\&=\left(\frac{f(x_0)}2+\frac{f(x_n)}2\right)h+h\sum_{k=1}^{n-1} f(x_k)\end{align}</math>}}
נותר לחשב את סדר הגודל של הטעות. נסמן לכל פונקציה g <math>I(g)=\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} g(x)\mathrm dx</math> וכן <math>T(g)</math> הקירוב של g ע"י טרפז. עתה נתמקד באחד הקטעים <math>[x_{k-1},x_k]</math> ונעריך את הטעות בו, השווה ל-<math>\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f(x)\mathrm dx-\frac{f(x_{k-1})+f(x_k)}2h=I(f)-T(f)</math>. נשים לב כי אם f לינארית בקטע אז הטעות היא 0.
כעת נניח ש-f בעלת שתי נגזרות רציפות ב-<math>[a,b]</math> ונסמן <math>M=\max_{x\in[a,b]} |f''(x)|</math>. נפתח את f לפיתוח טיילור סביב הנקודה <math>x_{k-1}</math>: <math>f(x)=\underbrace{f(x_{k-1})+f'(x_{k-1})(x-x_{k-1})}_{P(x)}+\underbrace{\frac{f''(c)}2 (x-x_{k-1})^2}_{R(x)}</math>, כאשר P הוא הפיתוח הלינארי של f ו-R השארית ממנו.
לסיכום, עד כה הראינו כי <math>I(f)=I(P)+I(R)</math> ו-<math>T(f)=T(P)+T(R)</math>. לכן השארית <math>I(f)-T(f)</math> היא <math>I(P)-T(P)+I(R)-T(R)</math>, ומכיוון ש-P לינארית <math>I(P)-T(P)=0</math>, כלומר השארית היא <math>I(R)-T(R)</math>. נחשב: {{left|<math>\begin{align}|I(R)|&=\left|\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} \frac{f''(c)}2 (x-x_k)^2\mathrm dx\right|\\&\le\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} \frac{|f''(c)|}2 (x-x_k)^2\mathrm dx\\&\le\frac M2\left[\frac{(x-x_{k-1})^3}3\right]_{x=x_{x-1}}^{x_k}\\&=\frac M2\frac{(x_k-x_{k-1})^3}3\\&=\frac {Mh^3}6\end{align}</math>}}
וכן {{left|<math>\begin{align}T(R)&=\frac{\frac{f''(c)}2 (x_{k-1}-x_{k-1})^2+\frac{f''(c)}2 h^2}2h\\&=\frac{f''(c)(x_k-x_{k-1})^2}4h\\&\le\frac{Mh^3}4\end{align}</math>}}
בסה"כ הטעות בקטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> חסומה ע"י <math>\frac{Mh^3}4+\frac {Mh^3}6</math>. יש n קטעים כאלה, לכן <math>|I(f)-T(f)|\le\frac {5Mh^3}{12}n=\frac {5Mh^2}{12}(b-a)</math>.
</li><li>כלל סימפסון (Simpson's Role): שוב נקרב את <math>\int\limits_a^b f</math> בעזרת חלוקה שווה <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b,\ h=\frac{b-a}n</math>, אלא שהפעם נדרוש ש-n זוגי. הקירוב של סימפסון הוא <math>S(f)=\frac h3\left(f(x_0)+4\sum_{k=1}^{n/2}f(x_{2k-1})+2\sum_{k=1}^{n/2-1}f(x_{2k})+f(x_n)\right)</math>. למעשה, סימפסון מקרב <math>\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f</math> ע"י <math>\frac
h3\Big(f(x_{k-1}+4f(x_k)+f(x_{k+1})\Big)</math>
לפני ההוכחה נציג שתי למות להשכלה כללית (באינפי):
<ul><li>נניח ש-f אינטגרבילית ואי-זוגית בקטע סימטרי <math>[-R,R]</math> אזי <math>\int\limits_{-R}^R f=0</math>.
===הוכחה===
נסמן <math>I_1=\int\limits_{-R}^0 f\ \and\ I_2=\int\limits_0^R f</math> ולכן <math>I_1+I_2=\int\limits_{-R}^R f</math>. ב-<math>I_1</math> נציב <math>t=-x\implies \mathrm dt=-\mathrm dx</math> ונקבל <math>I_1=\int\limits_{-(-R)}^{-0} f(-t)(-\mathrm dt)=-\left(-\int\limits_0^R -f(t)\mathrm dt\right)=-I_2</math>. {{משל}}</li>
<li>נניח ש-f רציפה בסביבה של <math>x_0</math> וגזירה בסביבה מנוקבת של <math>x_0</math>. עוד נניח שקיים <math>\lim_{x\to x_0}f'(x)=L</math>. אזי <math>f'(x_0)</math> קיים ושווה ל-L.
===הוכחה===
לפי ההגדרה, אם f גזירה ב-<math>x_0</math> אזי <math>f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}</math>, ולפי משפט לגראנז' זה שווה ל-<math>\lim_{x\to x_0} f'(c)</math> עבור <math>c</math> כלשהו בין <math>x</math> ל-<math>x_0</math>. לכן, כאשר <math>x\to x_0</math> גם <math>c\to x_0</math> ונקבל <math>L=\lim_{c\to x_0} f'(c)=\lim_{x\to x_0} f'(c)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)</math>. {{משל}}
</li></ul>
נחזור לכלל סימפסון.
==שלב א==
נניח ש-<math>h>0</math> ו-<math>p(x)</math> פולינום ממעלה 3 או פחות. נוכיח ש-<math>\int\limits_{-h}^h p=\frac h3\left(p(-h)+4p(0)+p(h)\right)\implies I(p)=S(p)</math> (כאשר לכל f אינטגרבילית ב-<math>[-h,h]</math> הגדרנו <math>I(f)=\int\limits_{-h}^h f</math>).
</li>
</ol>
