שינויים
המשך יבוא
=אינטגרלים=
* אם <math>F</math> ו-<math>G</math> קדומות ל-<math>f</math> בקטע <math>I</math> אז קיים קבוע <math>c</math> כך ש-<math>F(x)=G(x)+c</math>.
:לכל פונקציה <math>f</math> מוגדרת וחסומה בקטע <math>[a,b]</math> מתקיים:
:* אם <math>P</math> חלוקה של הקטע אזי <math>m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\overline S(f,P)\le M(b-a)</math>.
:* אם <math>P</math> חלוקה של הקטע ו-<math>Q</math> עידון של <math>P</math> כך ש-<math>|Q|=|P|+r</math> {{הערה|(כלומר, <math>Q</math> מתקבלת מ-<math>P</math> ע"י הוספת <math>r</math> נקודות)}} אזי <math>0\le\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)\le r\lambda(P)\Omega</math> וכן <math>0\le\underline S(f,Q)-\underline S(f,P)\le r\lambda(P)\Omega</math>.
:* לכל שתי חלוקות <math>P</math> ו-<math>Q</math> של הקטע מתקיים <math>\underline S(f,P)\le\overline S(f,Q)</math>.
:* אם <math>f</math> אינטגרבילית בקטע אז <math>\underline\int_a^b f\le\overline{\int}_a^b f</math>.
:* לכל חלוקה <math>P</math> מתקיים <math>\underline\int_a^b f=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)</math> וגם <math>\overline{\int}_a^b f=\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)</math>.
:* <math>f</math> אינטגרבילית בקטע אם"ם <math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0</math>.
:* <math>f</math> אינטגרבילית בקטע אם"ם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיימת חלוקה <math>P</math> של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\varepsilon</math>.
:* אם <math>f</math> רציפה בקטע אזי היא אינטגרבילית בו.
::* '''הכללה:''' אם <math>f</math> רציפה ב-<math>(a,b)</math> אזי היא אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>.
:::* '''הכללה להכללה:''' אם <math>f</math> רציפה ב-<math>[a,b]</math> פרט למספר סופי של נקודות אז <math>f</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>.
:* נניח ש-<math>a<c<b</math>. אזי <math>f</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> וב-<math>[c,b]</math> אם"ם היא אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>, ואם כן אז <math>\int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+\int\limits_c^b</math>.
::* '''הכללה:''' עבור <math>f</math> כנ"ל ו-<math>a=x_0,x_1,\dots,x_n=b</math> (הנקודות לאו דווקא מסודרות בסדר עולה) מתקיים <math>\int\limits_a^b f=\sum_{k=1}^n\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f</math>.
:* תהי <math>P'=\{a,c_1,c_2,\dots,c_n,b\}</math> חלוקה נוספת של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\forall1\le k\le n:\ c_k\in[x_{k-1},x_k]</math>. אזי <math>\underline S(f,P)\le S(f,P,P')\le\overline S(f,P)</math>. יתר על כן, <math>\underline S(f,P):=\inf_{P'}S(f,P,P')</math> ו-<math>\overline S(f,P):=\sup_{P'}S(f,P,P')</math>.
:* הגדרות האינטגרל לפי דרבו ולפי רימן שקולות.
* אם <math>f</math> מוגדרת ומונוטונית בקטע <math>[a,b]</math> אזי היא אינטגרבילית בו.
: תהיינה <math>f,g</math> אינטגרביליות ב-<math>[a,b]</math>, ו-<math>c</math> קבוע. אזי:
:* '''לינאריות:''' <math>\int\limits_a^b f+cg=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math>.
:* '''מונוטוניות:''' אם <math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)\ge g(x)</math> אז <math>\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g</math>.
::* '''חיוביות:''' בפרט מתקיים שאם <math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)\ge0</math> אזי <math>\int\limits_a^b f\ge0</math>.
:* '''הכללה לאי-שיוויון המשולש:''' גם <math>|f|</math> אינטגרבילית בקטע ו-<math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b |f|</math>
:* אם <math>m\le f(x)\le M</math> בקטע אז <math>m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)</math>.
::* בפרט, אם <math>|f(x)|\le M</math> אז <math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le M(b-a)</math>.
::* בפרט, אם <math>f(x)=M</math> (פונקציה קבועה) אז <math>\int\limits_a^b f=M(b-a)</math>.
:'''המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי:''' תהי <math>f</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>, ותהי <math>F</math> כך ש-<math>\forall x\in[a,b]:\ F(x):=\int\limits_a^x f</math>.
:* <math>F</math> מוגדרת ורציפה ב-<math>[a,b]</math>.
:* לכל <math>x\in[a,b]</math> שבה <math>f</math> רציפה, <math>F</math> קדומה ל-<math>f</math> (כלומר, <math>F</math> גזירה ו-<math>F'(x)=f(x)</math>).
:* '''נוסחת ניוטון-לייבניץ:''' נניח ש-<math>f</math> רציפה ב-<math>[a,b]</math>. אזי <math>\int\limits_a^b f=[F(x)]_{x=a}^b=F(b)-F(a)</math>.
* אם <math>f</math> רציפה בקטע אז יש לה שם פונקציה קדומה.
* אם <math>F</math> ו-<math>G</math> קדומות ל-<math>f</math> בקטע <math>I</math> אז קיים קבוע <math>c</math> כך ש-<math>F(x)=G(x)+c</math>.
:לכל פונקציה <math>f</math> מוגדרת וחסומה בקטע <math>[a,b]</math> מתקיים:
:* אם <math>P</math> חלוקה של הקטע אזי <math>m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\overline S(f,P)\le M(b-a)</math>.
:* אם <math>P</math> חלוקה של הקטע ו-<math>Q</math> עידון של <math>P</math> כך ש-<math>|Q|=|P|+r</math> {{הערה|(כלומר, <math>Q</math> מתקבלת מ-<math>P</math> ע"י הוספת <math>r</math> נקודות)}} אזי <math>0\le\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)\le r\lambda(P)\Omega</math> וכן <math>0\le\underline S(f,Q)-\underline S(f,P)\le r\lambda(P)\Omega</math>.
:* לכל שתי חלוקות <math>P</math> ו-<math>Q</math> של הקטע מתקיים <math>\underline S(f,P)\le\overline S(f,Q)</math>.
:* אם <math>f</math> אינטגרבילית בקטע אז <math>\underline\int_a^b f\le\overline{\int}_a^b f</math>.
:* לכל חלוקה <math>P</math> מתקיים <math>\underline\int_a^b f=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)</math> וגם <math>\overline{\int}_a^b f=\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)</math>.
:* <math>f</math> אינטגרבילית בקטע אם"ם <math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0</math>.
:* <math>f</math> אינטגרבילית בקטע אם"ם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיימת חלוקה <math>P</math> של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\varepsilon</math>.
:* אם <math>f</math> רציפה בקטע אזי היא אינטגרבילית בו.
::* '''הכללה:''' אם <math>f</math> רציפה ב-<math>(a,b)</math> אזי היא אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>.
:::* '''הכללה להכללה:''' אם <math>f</math> רציפה ב-<math>[a,b]</math> פרט למספר סופי של נקודות אז <math>f</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>.
:* נניח ש-<math>a<c<b</math>. אזי <math>f</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> וב-<math>[c,b]</math> אם"ם היא אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>, ואם כן אז <math>\int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+\int\limits_c^b</math>.
::* '''הכללה:''' עבור <math>f</math> כנ"ל ו-<math>a=x_0,x_1,\dots,x_n=b</math> (הנקודות לאו דווקא מסודרות בסדר עולה) מתקיים <math>\int\limits_a^b f=\sum_{k=1}^n\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f</math>.
:* תהי <math>P'=\{a,c_1,c_2,\dots,c_n,b\}</math> חלוקה נוספת של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\forall1\le k\le n:\ c_k\in[x_{k-1},x_k]</math>. אזי <math>\underline S(f,P)\le S(f,P,P')\le\overline S(f,P)</math>. יתר על כן, <math>\underline S(f,P):=\inf_{P'}S(f,P,P')</math> ו-<math>\overline S(f,P):=\sup_{P'}S(f,P,P')</math>.
:* הגדרות האינטגרל לפי דרבו ולפי רימן שקולות.
* אם <math>f</math> מוגדרת ומונוטונית בקטע <math>[a,b]</math> אזי היא אינטגרבילית בו.
: תהיינה <math>f,g</math> אינטגרביליות ב-<math>[a,b]</math>, ו-<math>c</math> קבוע. אזי:
:* '''לינאריות:''' <math>\int\limits_a^b f+cg=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math>.
:* '''מונוטוניות:''' אם <math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)\ge g(x)</math> אז <math>\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g</math>.
::* '''חיוביות:''' בפרט מתקיים שאם <math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)\ge0</math> אזי <math>\int\limits_a^b f\ge0</math>.
:* '''הכללה לאי-שיוויון המשולש:''' גם <math>|f|</math> אינטגרבילית בקטע ו-<math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b |f|</math>
:* אם <math>m\le f(x)\le M</math> בקטע אז <math>m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)</math>.
::* בפרט, אם <math>|f(x)|\le M</math> אז <math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le M(b-a)</math>.
::* בפרט, אם <math>f(x)=M</math> (פונקציה קבועה) אז <math>\int\limits_a^b f=M(b-a)</math>.
:'''המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי:''' תהי <math>f</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>, ותהי <math>F</math> כך ש-<math>\forall x\in[a,b]:\ F(x):=\int\limits_a^x f</math>.
:* <math>F</math> מוגדרת ורציפה ב-<math>[a,b]</math>.
:* לכל <math>x\in[a,b]</math> שבה <math>f</math> רציפה, <math>F</math> קדומה ל-<math>f</math> (כלומר, <math>F</math> גזירה ו-<math>F'(x)=f(x)</math>).
:* '''נוסחת ניוטון-לייבניץ:''' נניח ש-<math>f</math> רציפה ב-<math>[a,b]</math>. אזי <math>\int\limits_a^b f=[F(x)]_{x=a}^b=F(b)-F(a)</math>.
* אם <math>f</math> רציפה בקטע אז יש לה שם פונקציה קדומה.
