שינויים
{{הערה|את דוגמה 6 לא סיימנו בתרגול הקודם ולכן השלמנו אותה ב-8.5.11. [[משתמש:אור שחף/133 - תרגול/8.5.11#continue|חלק זה]] מופיע בסיכום התרגול הקודם ולא בדף הנוכחי.}}
=אינטגרל=
==דוגמה 1==
===פתרון===
{{כותרת נושא|התכנסות של פונקציות|נושא שני}}
לדוגמה נתבונן בסדרת הפונקציות <math>f_n(x)=\frac1{x^n}</math>. קל לראות שאת סדרת הפונקציות ניתן לרשום כ-<math>\{f_n(x)\}_{n=1}^\infty=\left\{\frac1{x^n}\right\}_{n=1}^\infty</math>. לדגמה, נבחר <math>x>1</math>. קל לראות ש-<math>\lim_{n\to\infty}\frac1{x^n}0</math>, ולכן <math>f(x)=0</math> היא פונקצית הגבול.
* אם <math>x=1</math> אז <math>f(1)=\lim_{n\to\infty}1^n=1</math>.
* אם <math>x\in[0,1)</math> אז <math>f(x)=0</math>.
{{משל}}
==דוגמה 2==
בדקו התכנסות של <math>f_n(x)=\frac1{1+n^2x^2}</math> ב-<math>\mathbb R</math>.
* <math>x=0\implies f(x)=\frac1{1+0}=1</math>
* <math>x\ne0\implies f(x)=\frac1{1+\infty}=0</math>
{{משל}}
----
נתונה <math>f_n(x)=\left(1+\frac1n\right)x^2</math>. קבע האם f מתכנסת נקודתית/במ"ש ב-<math>(0,1)</math>.
===פתרון===
במקרה שלנו קל לראות ש-<math>f_n(x)</math> מתכנסת נקודתית ל-<math>x^2</math> כי <math>\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)x^2=\lim_{n\to\infty}x^2+\lim_{n\to\infty}\frac{x^2}{n^2}=x^2+0=x^2</math>====. מסקנה====: <math>f(x)=x^2</math>.
==דוגמה 4==
הראה כי <math>f_n(x)=x^n</math> לא מתכנסת במ"ש ב-<math>(0,1)</math>.
===פתרון===
מצאנו בדוגמה 2 1 ש-<math>f(x)=0</math>. נשים לב כי <math>\forall n\in\mathbb N:\ \lim_{x\to1}x^n=1</math> ז"א <math>\forall n>n_0\in\mathbb N:\ \exists x_0:\ \frac12<x_0^n<\frac32</math> (לפי הגדרתהגבול). לכן <math>\exists\varepsilon>0:\ \forall n_0\in\mathbb N:\ \exists n>n_0:\ \exists x_0:\ |f_n(x_0)-f(x_0)|=|x_0^n-0|>\frac12>\varepsilon</math> ולכן ההתכנסות לא במ"ש. {{משל}}
משתמש אלמוני