שינויים
יצירת דף עם התוכן "=השתנות חסומה {{הערה|(המשך)}}= '''הגדרה:''' נתונה פונקציה f המוגדרת ב-<math>[a,b]</math> ותהי <math>P=\{x_0,x_1,\dot..."
=השתנות חסומה {{הערה|(המשך)}}=
'''הגדרה:''' נתונה פונקציה f המוגדרת ב-<math>[a,b]</math> ותהי <math>P=\{x_0,x_1,\dots,x_n\}</math> חלוקה של <math>[a,b]</math> (<math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>). ההשתנות (וריאציה) של f לפי P מוגדרת כ-<math>v(f,P)=\sum_{i=1}^n |f(x_i)-f(x_{i-1})|</math>. כמו כן נגדיר את <math>\overset b\underset aV f</math>, המסומן גם כ-<math>\overset b\underset aT f</math> ונקרא "ההשתנות הכללית/כוללת של הפונקציה", בתור <math>\sup_P v(f,P)</math>. אם קבוצת כל ההשתנויות חסומה, כלומר ההשתנות הכללית סופית, נאמר של-f יש השתנות חסומה ב-<math>[a,b]</math>.
==משפט 1==
נניח ש-g ו-h הן פונקציות מונוטוניות עולות ב-<math>[a,b]</math> ונגדיר <math>f=g-h</math> לכל נקודה ב-<math>[a,b]</math>. אזי f בעלת השתנות חסומה בקטע.
===הוכחה===
נבחר חלוקה כלשהי P של <math>[a,b]</math> שנקודותיה הן <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>. לכן
{|
{{=|l=v(f,P)
|r=\sum_{k=1}^n\vert f(x_k)-f(x_{k-1})\vert
}}
{{=|r=\sum_{k=1}^n\vert g(x_k)-g(x_{k-1})-(h(x_k)-h(x_{k-1}))\vert
}}
{{=|r=\sum_{k=1}^n\vert g(x_k)-g(x_{k-1})\vert+\sum_{k=1}^n\vert h(x_k)-h(x_{k-1})\vert
|o=\le
}}
{{=|r=\sum_{k=1}^n(g(x_k)-g(x_{k-1}))+\sum_{k=1}^n(h(x_k)-h(x_{k-1}))
|c=g,h מונוטוניות עולות, לכן:
}}
{{=|r=g(b)-g(a)+h(b)-h(a)
|c=הטורים הללו טלסקופיים.
}}
|}
תוצאה זו בלתי תלוייה בחלוקה P ולכן <math>\overset b\underset aV f=\sup_P v(f,P)\le g(b)-g(a)+h(b)-h(a)<\infty</math>. {{משל}}
==דוגמה==
ב[[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/17.5.11|אחת מההרצאות הקודמות]] הגדרנו פונקציה S רציפה שאין לה נגזרת באף נקודה.
==משפט 2==
תהי f מוגדרת ובעלת השתנות חסומה ב-<math>[a,b]</math>. אזי קיימות פונקציות עולות g,h ב-<math>[a,b]</math> כך ש-<math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)=g(x)-h(x)</math>.
===הקדמה להוכחה===
לפני ההוכחה נגדיר כמה דברים:
תהי Q חלוקה של הקטע שנקודותיה הן <math>a=x_0<x_1<\dots<x_m=b</math>. כמו כן נגדיר לכל x את <math>x^+=\begin{cases}x&x\ge0\\0&x<0\end{cases}</math> ו-<math>x^-=\begin{cases}0&x>0\\-x&x\le 0\end{cases}</math>. לכן תמיד <math>x^+,x^-\ge 0</math> ומתקיים <math>x=x^+-x^-</math> ו-<math>|x|=x^++x^-</math>. עתה נגדיר <math>p=\sum_{k=1}^m (f(x_k)-f(x_{k-1}))^+</math> ו-<math>n=\sum_{k=1}^m (f(x_k)-f(x_{k-1}))^-</math>. לכן <math>v(f,Q)=p+n</math>. עוד נגדיר <math>P=\sup_Q p</math> ו-<math>N=\sup_Q n</math>. נסמן <math>T=\overset b\underset aV f</math> ו-<math>t=v(f,Q)</math>, לכן מתקיים <math>t=p+n</math> ו-<math>T=\sup_Q t</math>. לבסוף נעיר שלכל Q מתקיים <math>t=p+n\le P+N</math> ולפיכך <math>T\le P+N</math>. לבסוף, נשים לב ש-<math>P,N\le T</math> (כי <math>n,p\ge0</math> ולכן <math>\sup p,\sup n\le\sup p+n</math>).
====למה====
בסימונים הנ"ל:
# <math>f(b)-f(a)=P-N</math>
# <math>T=P+N</math>
=====הוכחת הלמה=====
# מתקיים {{left|<math>\begin{align}p-n&=\sum_{k=1}^m (f(x_k)-f(x_{k-1}))^+-\sum_{k=1}^m (f(x_k)-f(x_{k-1}))^-\\&=\sum_{k=1}^m (f(x_k)-f(x_{k-1}))\\&=f(b)-f(a)\end{align}</math>}}נסיק ש-<math>p=f(b)-f(a)+n\le f(b)-f(a)+N</math> ולכן <math>P=\sup_Q p\le f(b)-f(a)+N</math>. הראנו כבר ש-<math>N\le T\le\infty</math> ולכן מותר להעביר אגף: <math>P-N\le f(b)-f(a)</math>. כמו כן נסיק ש-<math>n=p-(f(b)-f(a))\le P-(f(b)-f(a))</math> ולכן <math>N\le P-(f(b)-f(a))</math>. עתה נעביר אגף לקבל <math>P-N\ge f(b)-f(a)</math> ולכן <math>P-N=f(b)-f(a)</math>. {{משל}}
# מתקיים <math>T\ge t=p+n=p+p-(f(b)-f(a))=2p-(P-N)</math>. נעשה סופרימום על האגף הכי ימני ונקבל <math>T\ge 2P+N-P=N+P</math>. כבר הראנו ש-<math>T\le N+P</math> ולכן <math>T=N+P</math>. {{משל}}
===הוכחה===
לכל <math>x\in[a,b]</math> נגדיר <math>g(x)=\overset x\underset aP f</math>, כאשר <math>\overset x\underset aP f=\sup_Qp</math> כאשר כל Q היא חלוקה של הקטע <math>[a,x]</math>. באופן דומה נגדיר <math>h(x)=\overset x\underset aN f</math>. לפי סעיף 1 של הלמה, <math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)-f(a)=\overset x\underset aP f-\overset x\underset aN f=g(x)-h(x)</math> ולכן <math>f(x)=g(x)-(h(x)-f(a))</math>. לפי הגדרת g,h, ככל ש-x גדל כך גדל הקטע שבו מוגדרות החלוקות Q עבורן <math>g(x)=\sup_Q\sum_{k=1}^m(f(x_k)-f(x_{k-1}))^+</math> ובאופן דומה עבור h. מכיוון ש-<math>(f(x_k)-f(x_{k-1}))^\pm\ge0</math> ברור ש-g,h מונוטוניות עולות (ולכן גם <math>h-f(a)</math> מונוטונית עולה). {{משל}}
===מסקנה 1===
תהי f מוגדרת ובעלת השתנות חסומה ב-<math>[a,b]</math>. אזי לכל <math>x_0\in[a,b)</math> קיים <math>\lim_{x\to x_0^+} f(x)</math> לכל <math>x_0\in(a,b]</math> קיים <math>\lim_{x\to x_0^-} f(x)</math>.
====הוכחה====
נגדיר g,h עולות כך ש-<math>f=g-h</math>. קל לראות שהן חסומות ב-<math>[a,b]</math> (כי הן מונוטוניות ומוגדרות בנקודות a,b) ולכן (ממשפט באינפי 1) קיימים להן גבולות חד צדדיים לכל נקודה בקטע. מאריתמתיקה של גבולות גם ל-f יש גבולות חד צדדים בקטע. {{משל}}
===מסקנה 2===
תהי f פונקציה בעלת השתנות חסומה ב-<math>[a,b]</math>. אזי f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>.
====הוכחה====
תהנה g,h מונוטוניות כך ש-<math>f=g-h</math>. לפיכך הן אינטגרביליות בקטע ולכן גם הפרשן הוא פונקציה אינטגרבילית בקטע. {{משל}}
'''הגדרה:''' נתונה פונקציה f המוגדרת ב-<math>[a,b]</math> ותהי <math>P=\{x_0,x_1,\dots,x_n\}</math> חלוקה של <math>[a,b]</math> (<math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>). ההשתנות (וריאציה) של f לפי P מוגדרת כ-<math>v(f,P)=\sum_{i=1}^n |f(x_i)-f(x_{i-1})|</math>. כמו כן נגדיר את <math>\overset b\underset aV f</math>, המסומן גם כ-<math>\overset b\underset aT f</math> ונקרא "ההשתנות הכללית/כוללת של הפונקציה", בתור <math>\sup_P v(f,P)</math>. אם קבוצת כל ההשתנויות חסומה, כלומר ההשתנות הכללית סופית, נאמר של-f יש השתנות חסומה ב-<math>[a,b]</math>.
==משפט 1==
נניח ש-g ו-h הן פונקציות מונוטוניות עולות ב-<math>[a,b]</math> ונגדיר <math>f=g-h</math> לכל נקודה ב-<math>[a,b]</math>. אזי f בעלת השתנות חסומה בקטע.
===הוכחה===
נבחר חלוקה כלשהי P של <math>[a,b]</math> שנקודותיה הן <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>. לכן
{|
{{=|l=v(f,P)
|r=\sum_{k=1}^n\vert f(x_k)-f(x_{k-1})\vert
}}
{{=|r=\sum_{k=1}^n\vert g(x_k)-g(x_{k-1})-(h(x_k)-h(x_{k-1}))\vert
}}
{{=|r=\sum_{k=1}^n\vert g(x_k)-g(x_{k-1})\vert+\sum_{k=1}^n\vert h(x_k)-h(x_{k-1})\vert
|o=\le
}}
{{=|r=\sum_{k=1}^n(g(x_k)-g(x_{k-1}))+\sum_{k=1}^n(h(x_k)-h(x_{k-1}))
|c=g,h מונוטוניות עולות, לכן:
}}
{{=|r=g(b)-g(a)+h(b)-h(a)
|c=הטורים הללו טלסקופיים.
}}
|}
תוצאה זו בלתי תלוייה בחלוקה P ולכן <math>\overset b\underset aV f=\sup_P v(f,P)\le g(b)-g(a)+h(b)-h(a)<\infty</math>. {{משל}}
==דוגמה==
ב[[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/17.5.11|אחת מההרצאות הקודמות]] הגדרנו פונקציה S רציפה שאין לה נגזרת באף נקודה.
==משפט 2==
תהי f מוגדרת ובעלת השתנות חסומה ב-<math>[a,b]</math>. אזי קיימות פונקציות עולות g,h ב-<math>[a,b]</math> כך ש-<math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)=g(x)-h(x)</math>.
===הקדמה להוכחה===
לפני ההוכחה נגדיר כמה דברים:
תהי Q חלוקה של הקטע שנקודותיה הן <math>a=x_0<x_1<\dots<x_m=b</math>. כמו כן נגדיר לכל x את <math>x^+=\begin{cases}x&x\ge0\\0&x<0\end{cases}</math> ו-<math>x^-=\begin{cases}0&x>0\\-x&x\le 0\end{cases}</math>. לכן תמיד <math>x^+,x^-\ge 0</math> ומתקיים <math>x=x^+-x^-</math> ו-<math>|x|=x^++x^-</math>. עתה נגדיר <math>p=\sum_{k=1}^m (f(x_k)-f(x_{k-1}))^+</math> ו-<math>n=\sum_{k=1}^m (f(x_k)-f(x_{k-1}))^-</math>. לכן <math>v(f,Q)=p+n</math>. עוד נגדיר <math>P=\sup_Q p</math> ו-<math>N=\sup_Q n</math>. נסמן <math>T=\overset b\underset aV f</math> ו-<math>t=v(f,Q)</math>, לכן מתקיים <math>t=p+n</math> ו-<math>T=\sup_Q t</math>. לבסוף נעיר שלכל Q מתקיים <math>t=p+n\le P+N</math> ולפיכך <math>T\le P+N</math>. לבסוף, נשים לב ש-<math>P,N\le T</math> (כי <math>n,p\ge0</math> ולכן <math>\sup p,\sup n\le\sup p+n</math>).
====למה====
בסימונים הנ"ל:
# <math>f(b)-f(a)=P-N</math>
# <math>T=P+N</math>
=====הוכחת הלמה=====
# מתקיים {{left|<math>\begin{align}p-n&=\sum_{k=1}^m (f(x_k)-f(x_{k-1}))^+-\sum_{k=1}^m (f(x_k)-f(x_{k-1}))^-\\&=\sum_{k=1}^m (f(x_k)-f(x_{k-1}))\\&=f(b)-f(a)\end{align}</math>}}נסיק ש-<math>p=f(b)-f(a)+n\le f(b)-f(a)+N</math> ולכן <math>P=\sup_Q p\le f(b)-f(a)+N</math>. הראנו כבר ש-<math>N\le T\le\infty</math> ולכן מותר להעביר אגף: <math>P-N\le f(b)-f(a)</math>. כמו כן נסיק ש-<math>n=p-(f(b)-f(a))\le P-(f(b)-f(a))</math> ולכן <math>N\le P-(f(b)-f(a))</math>. עתה נעביר אגף לקבל <math>P-N\ge f(b)-f(a)</math> ולכן <math>P-N=f(b)-f(a)</math>. {{משל}}
# מתקיים <math>T\ge t=p+n=p+p-(f(b)-f(a))=2p-(P-N)</math>. נעשה סופרימום על האגף הכי ימני ונקבל <math>T\ge 2P+N-P=N+P</math>. כבר הראנו ש-<math>T\le N+P</math> ולכן <math>T=N+P</math>. {{משל}}
===הוכחה===
לכל <math>x\in[a,b]</math> נגדיר <math>g(x)=\overset x\underset aP f</math>, כאשר <math>\overset x\underset aP f=\sup_Qp</math> כאשר כל Q היא חלוקה של הקטע <math>[a,x]</math>. באופן דומה נגדיר <math>h(x)=\overset x\underset aN f</math>. לפי סעיף 1 של הלמה, <math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)-f(a)=\overset x\underset aP f-\overset x\underset aN f=g(x)-h(x)</math> ולכן <math>f(x)=g(x)-(h(x)-f(a))</math>. לפי הגדרת g,h, ככל ש-x גדל כך גדל הקטע שבו מוגדרות החלוקות Q עבורן <math>g(x)=\sup_Q\sum_{k=1}^m(f(x_k)-f(x_{k-1}))^+</math> ובאופן דומה עבור h. מכיוון ש-<math>(f(x_k)-f(x_{k-1}))^\pm\ge0</math> ברור ש-g,h מונוטוניות עולות (ולכן גם <math>h-f(a)</math> מונוטונית עולה). {{משל}}
===מסקנה 1===
תהי f מוגדרת ובעלת השתנות חסומה ב-<math>[a,b]</math>. אזי לכל <math>x_0\in[a,b)</math> קיים <math>\lim_{x\to x_0^+} f(x)</math> לכל <math>x_0\in(a,b]</math> קיים <math>\lim_{x\to x_0^-} f(x)</math>.
====הוכחה====
נגדיר g,h עולות כך ש-<math>f=g-h</math>. קל לראות שהן חסומות ב-<math>[a,b]</math> (כי הן מונוטוניות ומוגדרות בנקודות a,b) ולכן (ממשפט באינפי 1) קיימים להן גבולות חד צדדיים לכל נקודה בקטע. מאריתמתיקה של גבולות גם ל-f יש גבולות חד צדדים בקטע. {{משל}}
===מסקנה 2===
תהי f פונקציה בעלת השתנות חסומה ב-<math>[a,b]</math>. אזי f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>.
====הוכחה====
תהנה g,h מונוטוניות כך ש-<math>f=g-h</math>. לפיכך הן אינטגרביליות בקטע ולכן גם הפרשן הוא פונקציה אינטגרבילית בקטע. {{משל}}
