שינויים
/* תרגיל */
[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול|חזרה למערכי התרגול]]
<math>dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-dim(U\cap W)</math>
====סקיצה של ההוכחה - לא מפחיד כמו שנהוג לחשוב====#ניקח בסיס לU חיתוך W. נסמן אותו ב<math>\{v_1,...,v_k\}</math>#נשלים אותו לבסיס לU. נסמן <math>\{v_1,...,v_k,u_1,...,u_m\}</math>#נשלים את הבסיס לחיתוך גם לבסיס לW. נסמן <math>\{v_1,...,v_k,w_1,...,w_p\}</math>#'''פתרון:נוכיח'''(וזה עיקר העבודה) שהקבוצה <math>\{v_1,...,v_k,u_1,...,u_m,w_1,...,w_p\}</math> הינה בסיס לU+W:##נראה כי כל וקטור מהצורה u+w ניתן להצגה כצירוף לינארי של איברים אלה (זה ברור)##נראה כי הקבוצה הזו בת"ל, אחרת וקטורים שהנחנו שאינם בחיתוך יהיו חייבים להיות בחיתוך בסתירה#המשל נובע בקלות מספירת הוקטורים בבסיסים שכן <math>dim(U+W) = k+m+p=(k+m)+(k+p) -k</math>
===תרגיל 8.3===יהא V מ"ו ממימד 5, ויהיו U ממימד 3 ו-W ממימד 4 תתי מרחבים של V. מהן האפשרויות עבור <math>adim(x^3-x+1U\cap W)+b(2x^2+x-1)+c(x^3-1)=0</math> אם"ם? הוכח!
====פתרון====ראשית, <math>U+W\subseteq V</math> ולכן <math>dim(aU+cW)x^3+2bx^2\leq dim(V)=5</math>. אבל לפי משפט המימדים מתקיים <math>5\geq dim(U+W)=dim(b-aU)x+dim(a-bW)-cdim(U\cap W)=03+4-dim(U\cap W)</math> אם"ם.
ביחד מקבלים ש <math>a=b=c=0dim(U\cap W)\geq 2</math>. מצד שני, החיתוך מוכל גם בU וגם בW ולכן המימד שלו קטן שווה מהמימדים שלהם, ובפרט מהקטן מהם. לכן <math>dim(U\cap W)\leq 3</math>.
סה"כ האפשרויות למימד הן 2,3. קל למצוא דוגמאות המוכיחות שאפשרויות אלה אכן מתקבלות מתישהו.
===תרגיל 8.5===
יהא <math>V</math> מ"ו ממימד <math>n</math>, ויהיו <math>U,W</math> תתי מרחבים כך ש <math>dimU=n-1</math> ו-<math>W</math> אינו מוכל בU. הוכח כי <math>W+U=V</math>
פתרון:
מתקיים לפי נתון כי<math>\dim (W_1\cap W_2)\leq \dim W_1, \dim W_2 \leq dim(W_1+W_2)=\dim (W_1\cap W_2) +1</math>
ולכן לכל i מתקיים כי <math>\dim W_i </math> שווה למימד הסכום או למימד החיתוך. כיוון שיש הכלה <math>W_1\cap W_2\subseteq W_1,W_2\subseteq W_1+W_2 </math> אז יתקיים שיוויון.
כעת לא ייתכן כי <math>W_1,W_2</math> שניהם שווים כי אז מימד הסכום היה שווה למימד החיתוך.
=== תרגיל ===
יהא <math>V</math> מ"ו מימד אי זוגי <math>\dim V=2n+1</math> ויהיו <math>W_{1},W_{2},U_{1},U_{2}</math> ת"מ המקיימים כי <math>W_{1}+W_{2}=V=U_{1}+U_{2}</math> הוכיחו <math>\left(W_{1}\cap U_{1}\right)+\left(W_{1}\cap U_{2}\right)+\left(W_{2}\cap U_{1}\right)+\left(W_{2}\cap U_{2}\right)\neq\left\{ 0\right\}</math>
'''חשוב לזכור''' <math>[v]_B=\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix}</math> אם"ם <math>v=a_1v_1+...+a_nv_n</math>
<math>\begin{pmatrix}0 & 2 & 1 & | & x \\1 & 1 & 1 & | & y \\1 & 3 & 2 & | & z \\1 & -1 & 0 & | & w \\\end{pmatrix}[v_1]_B=[v_2]_B</math> אמ"מ <math>v_1=v_2</math>
<math>v=a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3+a_4v_4 = 1\begin{pmatrix}-cdot 1 & + 2\cdot x + (-1 & 1 & 0 & | & 0 )\\1 & -1 & cdot x^2 + 0 & 1 & | & 0 \\\end{pmatrix}cdot x^3</math>.
לפיכך <math>[v]_S=(1,2,-1,0)</math>.
== דוגמאות ואלגוריתמים===== חיתוך תת מרחבים ======='''תרגיל 7.31'''====
נגדיר שני תתי מרחבים של <math>\mathbb{R}_3[x]</math>:
'''פתרון.'''
בתרגיל זה נשתמש בשיטה נפוצה ביותר. אנו מעוניינים לתאר את המרחבים הוקטוריים באופן קל יותר לעבודה מאשר התיאור לעיל; לכן ננסה לתאר את תתי המרחבים הללו כמרחבי פתרון של מערכת הומוגנית (בדומה להצגה השלישית בתרגיל הקודםאחת מהדרכים להצגת תת מרחב מתירגול קודם). המשתנים שלנו במערכת המשוואות יהיו '''המקדמים''' של הפולינומים.
נביט בVב <math>V</math>. זהו אוסף כל הפולינומים ש2 הוא שורש שלהם. יהי פולינום כללי <math>p(x)=a+bx+cx^2+dx^3</math>, הוא שייך לV ל<math>V</math> אם"ם מקדמיו מקיימים את המשוואה הלינארית: <math>a+2b+4c+8d=0</math>. באופן דומה הפולינום שייך לU אם"ם מקדמיו מקיימים את המשוואה הלינארית לכן <math>0V=\{a+bbx+ccx^2+ddx^3|a+2b+4c+8d=0\}</math>. לכן פולינום נמצא בחיתוך אם"ם מקדמיו (הקואורדינטות) מקיימים את מערכת המשוואות המכילה את שתי המשוואות הללו. נמצא בסיס למרחב זה: נעבוד עם הבסיס הסטנדרטי <math>S</math> נקבל כי
<math>[V]_S=\{\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 a\\ 1 & 2 & 4 & 8b\\ c\\ d \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^4 |a+2b+4c+8d=0\}</math>. נדרג קנונית לקבל
באופן דומה הפולינום שייך ל<math>U</math> אם"ם מקדמיו מקיימים את המשוואה הלינארית <math>0=a+b+c+d</math>. ומרחב הקורדינאטות הוא
<math>[U]_S=\{\begin{pmatrix}1 & 0 & -2 & -6 a\\ 0 & 1 & 3 & 7b\\ c\\ d \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^4 |a+b+c+d=0\}</math>
נדרג את המטריצה ונמצא את הפתרון:
<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & 8 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & 8 \\ 0 & -1 & -3 & -7 \end{pmatrix} \to \\ \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & -6 \\ 0 & -1 & -3 & -7 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & -6 \\ 0 & 1 & 3 & 7 \end{pmatrix} </math> ולכן הפתרון הכללי הוא מהצורה <math>(2t+6s,-3t-7s,t,s)</math>, ולכן הבסיס הינו <math>(2,-3,1,0),(6,-7,0,1)</math>. נחזור לצורה הפולינומית לקבל את התשובה הסופית: <math>U\cap V = sapn \{v_1, v_2 \; | \; [v_1]_s = (2,-3,1,0), [v_2]_s = (6,-7,0,1) \} = span\{2-3x+x^2,6-7x+x^3\}</math> מהווים בסיס לחיתוך בין V לU.
====אלגוריתם למציאת חיתוך בין שני תתי מרחבים U,W====
ישנן שתי שיטות לחשב את החיתוך, נתחיל בראשונה (שביצענו הרגע, למעשה):
# החלף את <math>U,W</math> במרחב הקורדינאטות שלהם.#מצא מערכת משוואות המתארת את <math>U </math> ומערכת משוואות המתארת את <math>W (כמו בהצגה השנייה מבין הצגות המרחב)</math>
#פתור מערכת אחת המכילה את כל המשוואות משתי המערכות וקבל את החיתוך
# חזור ל <math>U,W</math> המקוריים.
שיטה שנייה:
# החלף את <math>U,W</math> במרחב הקורדינאטות שלהם.# הצג את המרחבים כ <math>span(?)</math> #כתוב צירוף לינארי כללי בU ב<math>U</math> וצירוף לינארי כללי בWב<math>W</math>
#השווה את הצירופים ופתור מערכת משוואות על '''הסקלרים'''
#הצב את הסקלרים שקיבלת בצירוף הלינארי וקבל את החיתוך
# חזור ל <math>U,W</math> המקוריים.
מצא את החיתוך בין תתי המרחבים הבאים בשיטה השנייה לעיל.
<math>B=\operatorname{span}\left (\Big\{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\Big\}\right ),C=\operatorname{span}\left ( \Big\{\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & -3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1 & 4 \\ -1 & 4 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & -2\end{pmatrix}\Big\}\right )</math>
<math>a\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & -3\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}1 & 4 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & -2\end{pmatrix}</math>
במרחב הקורדינאטות (עם הבסיס הסטדנדרטי <math>S</math>, נקבל את השיוון
<math>a\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}0 \\0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \\ -3\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}1 \\ 4 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}1\\ 1 \\ 1 \\ -2\end{pmatrix}</math>
לכן מערכת המשוואות '''על הסקלרים''' הינה:
במקרה זה קל יותר למצוא את x,y,z; המשתנים החופשיים הינם x,z ומתקיים z=5y. ולכן הצ"ל הכללי בחיתוך הינו:
<math>[B]_S \cap [C]_S=\Big\{x\begin{pmatrix} 3 & \\ 2 \\ 4 & \\ -3\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}1 & \\ 4 \\ -1 & \\ 4 \end{pmatrix}+5y\begin{pmatrix}1 & \\ 1 \\ 1 & \\ -2\end{pmatrix}\Big\}=</math>\\<math>=\Big\{x\begin{pmatrix} 3 & \\ 2 \\ 4 & \\ -3\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}6 & \\ 9 \\ 4 & \\ -6 \end{pmatrix}\Big\}=span\Big\{\begin{pmatrix} 3 & \\ 2 \\ 4 & \\-3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}6 & \\ 9 \\ 4 & \\ -6 \end{pmatrix}\Big\}</math> ==קואורדינטות==משפט: יהא V מ"ו מעל שדה F, יהי <math>B=\{v_1,...,v_n\}</math> בסיס ל-V ויהי <math>v\in V</math> וקטור. אזי ל-v יש הצגה יחידה כצירוף לינארי לפי הבסיס B. כלומר, אם מתקיים <math>v=a_1v_1+...+a_nv_n=b_1v_1+...+b_nv_n</math> אזי בהכרח <math>\forall i:a_i=b_i</math>. (קל להוכיח את זה על ידי חיסור הצד הימני של המשוואה מהצד השמאלי, מקבלים צירוף לינארי שמתאפס עם מקדמים <math>a_i-b_i</math>.) הגדרה: יהיו V,B וv כמו במשפט. אזי '''וקטור הקואורדינטות''' של v לפי בסיס B, מסומן <math>[v]_B\in\mathbb{F}^n</math> מוגדר להיות <math>[v]_B=\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix}</math> כאשר <math>v=a_1v_1+...+a_nv_n</math> ההצגה הלינארית היחידה הקיימת לפי המשפט. '''חשוב לזכור''' <math>[v]_B=\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix}</math> אם"ם <math>v=a_1v_1+...+a_nv_n</math> תרגיל קל אבל חשוב הוא להראות שלכל בסיס B מתקיים ש <math>v=0</math> אם"ם <math>[v]_B=0</math>. הערה: במרחבים הוקטוריים שאנו נעבוד איתם יש '''בסיסים סטנדרטיים'''. הייחוד של הבסיסים הסטנדרטיים הוא שקל מאד לחשב קואורדינטות לפיהם. נסתכל במרחבים וקטורים ובבסיסים הסטנדרטיים שלהם: {| border="1" align="center" style="text-align:center;"|מרחב וקטורי|בסיס סטנדרטי|-|<math>\mathbb{F}^n</math>|<math>(1,0,...,0),(0,1,0,...,0),...,(0,...,0,1)</math>|-|<math>\mathbb{F}^{m\times n}</math>|<math>\begin{pmatrix}1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & \cdots & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & \cdots & 0\end{pmatrix},...,\begin{pmatrix}0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & \cdots & 0\end{pmatrix},...,\begin{pmatrix}0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix}
</math>
אם נחזור למרחבים המקוריים נקבל כי
=== תלות לינארית ===
'''דוגמא.'''
דבר ראשון, נעבור למרחב הקואורדינטות. מכיוון שבחירת הבסיס היא לשיקולנו, נבחר את הבסיס הסטנדרטי S של הפולינומים איתו קל לעבוד. מתקיים ש <math>[v_1]_S=(1,0,1),[v_2]_S=(1,-1,0),[v_3]_S=(0,1,1)</math>
<math>
\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}
\xrightarrow[]{R_3-R_1,R_3+R_2}
\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>
לכן וקטורי הקואורדינטות תלויים לינארית ולכן הפולינומים עצמם תלויים לינארית.
#הפוך את הוקטורים לוקטורי קואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי המתאים
#שים את וקטורי הקואורדינטות ב'''שורות''' מטריצה A
#אם הגעת לצורה מדורגת ללא שורת אפסים סימן שהוקטורים בלתי תלויים לינארית
ובדרך הנוספת
#הפוך את הוקטורים לוקטורי קואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי המתאים
#שים את וקטורי הקואורדינטות ב'''עמודות''' מטריצה A
# בדוק אם יש פתרון לא טריאלי למערכת <math>Ax=0</math>
# אם יש אז הם תלויים ואם אין אז הם בת"ל
=== צירופים לינאריים ===
'''דוגמא.'''
האם המטריצה <math>v=\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}</math> נפרשת על ידי היא צ"ל של המטריצות
<math>
v_1=\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix},
v_2=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 2 & 1\end{pmatrix},
v_3=\begin{pmatrix}2 & 2 \\ 10 & 10\end{pmatrix}
</math>? אם כן, הצג אותה כצירוף לינארי שלהן.
פתרון: נעבור דבר ראשון למרחב הקואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי <math>S=\Big\{\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\Big\}</math>
נסכם:
====אלגוריתם לחישוב צירוף לינארי====
#נתון וקטור b וקבוצת וקטורים. העבר את כולם לוקטורי קואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי המתאים
#פתור את המערכת Ax=b כאשר '''עמודות''' A הינן וקטורי הקואורדינטות של קבוצת הוקטורים הפורשים
ראינו שקל מאד למצוא קואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי, נשתמש בהנחה הזו בהמשך. אנו מעוניינים לדעת כיצד לחשב קואורדינטות לפי בסיס כלשהו, לאו דווקא סטנדרטי.
'''משפט:''' יהא <math>V </math> מ"ו ויהיו <math>E,F </math> בסיסים לו. אזי '''קיימת''' מטריצה '''יחידה''' המסומנת <math>[I]^E_F</math> המקיימת את הפסוק הבא:
<math>\forall v\in V: [I]^E_F[v]_E=[v]_F</math>
'''דוגמא.'''
יהא <math>V=\mathbb{R}^2</math> ושני בסיסים
<math>E=\{v_1=\begin{pmatrix} 3\\ -2 \end{pmatrix} , v_2 = \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} \}</math>
ו<math>F=\{w_1= \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix},w_2 = \begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}\}</math>
נמצא את <math>[I]^E_F</math>.
מתקיים כי
<math>
v_1 = \mathbf{5}w_1-\mathbf{2}w_2 \\
v_2 = -\mathbf{1}w_1+\mathbf{1}w_2
</math>
לכן
<math>
[I]^E_F=
\begin{pmatrix} 5& -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}
</math>
'''תרגיל:'''
הוכח ש <math>[I]^S_B[I]^A_S=[I]^A_B</math>. מכיוון שאנו יודעים שמטריצה המעבר הינה יחידה, מספיק להראות שהכפל מקיים את הפסוק מההגדרה:
#הפוך את המטריצה האחרונה לקבל <math>([I]^F_S)^{-1}=[I]^S_F</math>
#כפול את המטריצות על מנת לקבל את התוצאה הסופית <math>[I]^S_F[I]^E_S=[I]^E_F</math>
====דוגמא:====
<math>V=\mathbb{R}_2[x]</math> מצא את <math>[I]^E_F</math> כאשר
<math>E=\{1+x, x+x^2, x^2\}, F=\{x,1+x,1+2x^2\}</math>
פתרון:
נסמן <math>S</math> הבסיס הסטנדרטי ואז
<math>
[I]^E_S=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1
\end{pmatrix},
[I]^F_S=
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}
</math>
אחרי חישובים מקבלים כי
<math>[I]^S_F=
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}^{-1} =
\begin{pmatrix}
-1 & 1 & 0.5 \\
1 & 0 & -0.5 \\
0 & 0 & 0.5
\end{pmatrix}
</math>
ולכן
<math>[I]^E_F=[I]^S_F[I]^E_S=
\begin{pmatrix}
-1 & 1 & 0.5 \\
1 & 0 & -0.5 \\
0 & 0 & 0.5
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 & 1.5 & 0.5 \\
1 & -0.5 & -0.5 \\
0 & 0.5 & 0.5
\end{pmatrix}
</math>
====תרגיל====
תהא
<math>
A =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
1 & 1 & 0 \\
\end{pmatrix}
</math>
ובסיס
<math>
E =
\{
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
0 \\
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
1 \\
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1 \\
\end{pmatrix}
\}
</math>
מצאו בסיס <math>F</math> כך ש <math>A=[I]^E_F</math>
פתרון:
נסמן <math>F=\{v_1,v_2,v_3\}</math>
נחשב ונמצא כי
<math>
[I]^F_E= A^{-1} =
\begin{pmatrix}
-4/3 & 1/3 & 1 \\
2/3 & 1/3 & -2 \\
1/3 & -1/3 & 1 \\
\end{pmatrix}
</math>
מהגדרה נקבל כי
<math>
v_1 =
-4/3
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
0 \\
\end{pmatrix}+
2/3
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
1 \\
\end{pmatrix}+
1/3
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1 \\
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
-2/3 \\
-4/3 \\
1 \\
\end{pmatrix},
\\
v_2 =
1/3
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
0 \\
\end{pmatrix}+
1/3
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
1 \\
\end{pmatrix}+
-1/3
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1 \\
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
2/3 \\
1/3 \\
0 \\
\end{pmatrix},
\\
v_3 =
1
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
0 \\
\end{pmatrix}+
-2
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
1 \\
\end{pmatrix}+
1
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1 \\
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
-1 \\
1 \\
-1 \\
\end{pmatrix}
</math>