שינויים

:::::<math>|a_1|^2+...+|a_n|^2 = ||v||^2</math>:::::וכן באגף השני תקבל: :::::<math>|a_1|^2+...+|a_k|^2</math>:::::עבור סקלרים, כאשר הקבא"נ בגודל k, והבא"נ בגודל n. לפי ההשלמה לבסיס מתקיים ש-n גדול או שווה ל-k. עכשיו, נניח שיש שוויון, אז נקבל ש-:::::<math>a_{k+1}= . . . =a_n=0</math>, כלומר n=k, ואז הקבא"נ מתחילת ההוכחה היא בעצם בא"נ למרחב, ואז לכל v במרחב יתקיים ש-v שייך לספאן של הקבוצה, וגם להפך: אם v שייך לספאן של הקבוצה, אזי הוא צ"ל של איבריה (כל V), ואז נקבל את השוויון הרצוי.