שינויים
יצירת דף עם התוכן "קישור לבחינה עצמה: [http://u.cs.biu.ac.il/~sheinee/tests/math/88132/4ef1a82d352a5.pdf המבחן] == שאלה 1 == יהי <math>\sum_{n=1}^{\infty }..."
קישור לבחינה עצמה: [http://u.cs.biu.ac.il/~sheinee/tests/math/88132/4ef1a82d352a5.pdf המבחן]
== שאלה 1 ==
יהי <math>\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}</math> טור חיובי.
'''א.''' הראה שאם <math>\left \{a_{n} \right \}_{n=1}^{\infty }</math> סדרה המקיימת לכל n <math>|a_{n+1}-a_{n}|<b_{_{n}}</math> וכן <math>\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}<\infty </math> אזי הסדרה מתכנסת.
'''הוכחה:'''
אם הטור מתקיים התנאים הנ"ל כלומר: <math>\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}<\infty </math> וגם <math>\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}</math> טור חיובי, אזי הטור מתכנס. שכן סדרת הסכומים החלקיים שלו היא מונוטונית עולה וחסומה מילעל ולכן מתכנסת.
נוכיח כי הסדרה הינה קושי וזאת באמצעות הקריטריון של קושי להתכנסות סדרות.
יהי <math>\varepsilon >0</math>. לפי קריטריון קושי קיים <math>M\in \mathbb{N}</math> כך שלכל <math>p\in \mathbb{N} </math> מתקיים <math>|\sum_{i=M}^{M+p}b_{i}|<\varepsilon </math>.
יהיו <math>n,m>M</math>, אזי:
<math>|a_{n}-a_{m}|=|a_{n}-a_{n-1}+a_{n-1} - .... + a_{m+1}-a_{m}|\leq |a_{n}-a_{n-1}| + |a_{n-1}-a_{n-2}| +....+|a_{m+1}-a_{m}|\leq b_{n-1}+b_{n-2}+...+b_{m}=\sum_{i=m}^{n-1}b_{i}\leq \sum_{i=M}^{n-1}b_{i}<\varepsilon </math>
הראנו שהסדרה היא קושי ולכן מתכנסת.
'''ב''' אם
== שאלה 1 ==
יהי <math>\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}</math> טור חיובי.
'''א.''' הראה שאם <math>\left \{a_{n} \right \}_{n=1}^{\infty }</math> סדרה המקיימת לכל n <math>|a_{n+1}-a_{n}|<b_{_{n}}</math> וכן <math>\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}<\infty </math> אזי הסדרה מתכנסת.
'''הוכחה:'''
אם הטור מתקיים התנאים הנ"ל כלומר: <math>\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}<\infty </math> וגם <math>\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}</math> טור חיובי, אזי הטור מתכנס. שכן סדרת הסכומים החלקיים שלו היא מונוטונית עולה וחסומה מילעל ולכן מתכנסת.
נוכיח כי הסדרה הינה קושי וזאת באמצעות הקריטריון של קושי להתכנסות סדרות.
יהי <math>\varepsilon >0</math>. לפי קריטריון קושי קיים <math>M\in \mathbb{N}</math> כך שלכל <math>p\in \mathbb{N} </math> מתקיים <math>|\sum_{i=M}^{M+p}b_{i}|<\varepsilon </math>.
יהיו <math>n,m>M</math>, אזי:
<math>|a_{n}-a_{m}|=|a_{n}-a_{n-1}+a_{n-1} - .... + a_{m+1}-a_{m}|\leq |a_{n}-a_{n-1}| + |a_{n-1}-a_{n-2}| +....+|a_{m+1}-a_{m}|\leq b_{n-1}+b_{n-2}+...+b_{m}=\sum_{i=m}^{n-1}b_{i}\leq \sum_{i=M}^{n-1}b_{i}<\varepsilon </math>
הראנו שהסדרה היא קושי ולכן מתכנסת.
'''ב''' אם
