שינויים
/* שאלה */
==שאלה==
(לקוחה מספר) - תהי f יורדת ממש והאינטגרל: <math>\int_0^\infty f</math> קיים. הוכיחו שהאינטגרל שונה מ- <math>\sum _{n=1}^\infty f(n)</math> , ושקיים מספר a בקטע (0,1) כך ש- <math> \int_a^\infty f = \sum _{n=1}^\infty f(n) </math>
(לא ארז/תומר) <math> \int_0^\infty f = \sum _{n=1}^\infty \int_{n-1}^{n} f > \sum _{n=1}^\infty \int_{n-1}^{n} f(n) = \sum _{n=1}^\infty f(n)*1</math> אי השוויון מתקיים בגלל המונוטוניות (אי שוויון בפונקציות גורר אי שוויון באינטגרלים) ומשום ש-f יורדת ממש נקבל f(n)>f(n_1) ולכן יש אי שוויון חזק באינטגרלים.
לגבי החלק השני של ההוכחה: באותו האופן מתקיים גם:
<math> \int_1^\infty f = \sum _{n=1}^\infty \int_{n}^{n+1} f < \sum _{n=1}^\infty \int_{n}^{n+1} f(n) = \sum _{n=1}^\infty f(n)*1</math>
<math>g(a):=\int_a^\infty f</math> פונקציה רציפה כי אם b שואף לאפס אז <math>g(a+b)=\int_{a+b}^\infty f = \int_{a}^\infty f - \int_{a}^{b} f \xrightarrow{b \xrightarrow {}a} \int_{a}^\infty f = g(a)</math>
הראינו כי <math>g(0) > \sum _{n=1}^\infty f(n) > g(1)</math> ולכן לפי משפט ערך הביניים קיים <math>0<a<1</math> עבורו
<math>g(a)=\sum _{n=1}^\infty f(n)</math>, כלומר <math> \int_a^\infty f = \sum _{n=1}^\infty f(n) </math>, מש"ל
משתמש אלמוני
