שינויים
\subsectionbegin{דוגמה 1 - example}[מטריצת היחידה}]
ניקח $A=I_n$, ונחפש את $spec\left(A\right)$. נבדוק בשתי שיטות:
\subsubsectionbegin{description} \item[שיטה ראשונה - חישוב ישיר}]
נניח ש-$I_n v=\lambda v$. מכאן, $v=\lambda v$, כלומר $\lambda = 1$, כלומר
$\operatorname{spec}\left(I_n\right)=\left\{1\right\}$.
\subsubsection{item[שיטה שנייה - לפי המשפט}]
נשים לב כי $\lambda I-A=\left ( \begin{matrix}
\end{matrix} \right )$.
לכן, $\det\left ( \lambda I-A \right )=\left ( \lambda-1 \right )^n$
אם כן, $\lambda=1\Leftrightarrow\left(\lambda-1\right)^n=0$, ולכן $\operatorname{spec}\left(I_n\right)=\left\{1\right\}$.
לסיכום, הערך העצמי של מטריצת היחידה הוא $1$, ומהחישוב שבחלק הראשון גילינו שכל הווקטורים הם וקטורים עצמיים שלו. זה אכן מתאים לדברים המוכרים - כל וקטור הכופלים במטריצת היחידה נשאר עצמו, המתיחה היא תמיד פי 1.
\subsectionend{דוגמה 2 - מטריצה אלכסונית כלליתdescription}
\end{example} \begin{example}[מטריצה אלכסונית כללית] נסמן $$A=D=\left ( \begin{matrix}
\alpha_1 & &0 \\
& \ddots & \\
0 & & \alpha_n
\end{matrix} \right )$$נרצה לדעת מהו $\operatorname{spec}\left(D\right)$. על פי המשפט, נסתכל על $\lambda I-D$: $$\lambda I-D=\left ( \begin{matrix}
\lambda-\alpha_1 & &0 \\
& \ddots & \\
0 & & \lambda-\alpha_n
\end{matrix} \right )$.$
הדטרמיננטה: $\lambda=\alpha_1,\dots,\alpha_n\Leftrightarrow\det\left(\lambda I-A\right)=\prod_{i=1}^{n}\left(\lambda-\alpha_i \right )=0$.
קיבלנו ש-$\operatorname{spec}\left ( D \right )=\left \{ \alpha_1,\dots,\alpha_n \right \}$.
אכן, גם את התוצאה הזו יכולנו לצפות מראש! מטריצה אלכסונית מותחת בדיוק את וקטורי היחידה, $e_1,\dots,e_n$ פי $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ בהתאמה.
\subsectionend{דוגמה שלישית - מטריצה משולשית עליונהexample}
\begin{example}[דוגמה שלישית - מטריצה משולשת עליונה] ניקח $$A=T=\left ( \begin{matrix}
\alpha_1 & & \star\\
& \ddots & \\
0 & & \alpha_n
\end{matrix} \right )$ $מטריצה משולשית משולשת עליונה.
על פי הוכחה דומה לזו של מטריצה אלכסונית - מקבלים
$\operatorname{spec}\left ( T \right )=\left \{ \alpha_1,\dots,\alpha_n \right \}$.
\subsectionend{דוגמה רביעיתexample} \begin{example}
ניקח מעל $\mathbb{F}=\mathbb{R}$ את המטריצה $A=\left ( \begin{matrix}
לפי חישוב, $\det\left ( \lambda I-A \right )=\lambda^2+1=0$, אבל למשוואה זו אין פתרונות ב-$\mathbb{R}$.
אם כן, $\operatorname{spec}\left(A\right)=\emptyset$. \end{example}
משתמש אלמוני
