שינויים
<latex2pdf>
<tex>קוד:ראש</tex>
עד כה הגדרנו רציפות באופן נקודתי ואמרנו שפונקציה רציפה בקטע אם היא רציפה בכל נקודה בקטע בנפרד.
\begin{definition}
פונקציה f נקראת רציפה במידה שווה (רציפה במ"ש) בקטע A אם:
שימו לב כי ברציפות רגילה בקטע A, לכל נקודה בקטע ההתאמה של הדלתא לאפסילון עשוייה להיות שונה. כאשר הפונקציה רציפה במ"ש, לכל אפסילון יש דלתא המתאים לכל הקטע A.
\end{definition}
\begin{example}
אכן, לכל אפסילון ניקח דלתא שווה לאפסילון ונקבל כי $|f(x_1)-f(x_2)|=|x_1-x_2|<\delta=\epsilon$
\end{example}
\begin{example}
לפעמים פונקציה מסויימת עשוייה להיות רציפה במ"ש בקטע מסויים אך לא רציפה במ"ש בקטע אחר.
ראשית, נביט ב $ f(x)=x^2 $ על הקטע הסופי $(a,b)$. יהי $\varepsilon>0$, אזי:
$$|f(x_1)-f(x_2)|=|x_1^2-x_2^2|=|(x_1-x_2)(x_1+x_2)|\leq |x_1-x_2|\cdot 2\max\{|a|,|b|\}$$
כעת, אם ניקח $\delta = \frac{\epsilon}{2\max\{|a|,|b|\}}$ נקבל שהפונקציה רבמ"ש בתחום.\\
עכשיו, נבחן את אותה הפונקציה $f(x)=x^2$ על כל הממשיים, ונוכיח כי היא אינה רציפה שם במ"ש.
ניקח $\epsilon=1$. צריך להוכיח כי לכל $\delta>0$ קיים זוג מספרים ממשיים המקיימים $|x_1-x_2|<\delta$ וגם $|f(x_1)-f(x_2)|\geq 1$. \\
ניקח $x_2=x_1+\frac{\delta}{2}$ ונראה כי אם נבחר את $x_1$ להיות גדול מספיק, נקבל את הדרוש. ברור כי $|x_1-x_2|=\frac{\delta}{2}<\delta$
$$|f(x_1)-f(x_2)|=|x_1^2-x_2^2|=|(x_1-x_2)(x_1+x_2)|=\frac{\delta}{2}|2x_1+\frac{\delta}{2}|$$
ברור שאם נגדיל את $x_1$ מספיק נקבל את הדרוש.
\beginend{example}
\begin{thm}
\begin{proof}
יהי $x_0 \in A $ , נרצה להראות ש- $f$ רציפה בו. כלומר $$\forall \varepsilon>0 \exists \delta \forall x : |x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon $ . $אבל ידוע מהנתון שלכל אפסילון קיים דלתא כך שהתנאי נכון לכל $x_1,x_2 $ שמרחקם זה מזה קטן מ- $\delta $ , בפרט ל- $x,x_0 $ .
\end{proof}
נגדיר $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2 \} $ . יהיו $x_1,x_2 $ כך ש- $|x_1-x_2|<\delta $ . נראה כי
$$|\alpha f(x_1)+\beta g(x_1)-(\alpha f(x_2)+\beta g(x_2))|\leq |\alpha| \cdot |f(x_1)-f(x_2)| + |\beta| \cdot |g(x_1)-g(x_2)| < $$ $$|\alpha| \frac{\varepsilon}{2|\alpha|} + \beta \frac{\varepsilon}{2|\beta|} = \varepsilon $$
\end{proof}
\begin{proof}
נניח הקטע הסופי הוא מהצורה בשלילה ש- $(af$ לא חסומה מלעיל,b) ועבור חסומה מלרע ההוכחה דומה. מההנחה מתקיים$ $\forall n\in \mathbb{N} \exists x_n : x_n >n$$נניח בה"כ שהמרחק בין איברי $x_n$ גדול או שווה ל-1, משום שאם זה לא המצב אפשר לקחת תת סדרה שתקיים את זה.כיוון ש- $x_n$ סדרה חסומה (עבור קטעים סופיים אחרים יותר קלמוכלת בקטע סופי)יש לה תת סדרה מתכנסת $y_k=x_{n_k} $ . ידוע שכעת נסתכל על הסדרה $y_k$ ועל הסדרה $y_{k+1} $ , כיוון שהסדרות מתכנסות לאותו דבר, $|y_{k+1}- y_k |\to 0 $אבל מצד שני $|f(y_{k+1})-f(y_k)|\geq 1 $ , ולכן הפונקציה לא רבמ"ש על הקטע אזי .
\end{proof}
בעתיד, כשנלמד על נגזרות נראה שיש עוד דרך להוכיח רציפות במ"ש.
<tex>קוד:זנב</tex>
</latex2pdf>