שינויים
/* קואורדינטות */
==קואורדינטות==
משפט: יהא <math>V </math> מ"ו מעל שדה <math>\mathbb{F}</math>, יהי <math>B=\{v_1,...,v_n\}</math> בסיס ל-<math>V </math> ויהי <math>v\in V</math> וקטור. אזי לראינו ש-<math>v יש הצגה </math> ניתן להצגה יחידה כצירוף לינארי כצ"ל של <math>B</math> וההצגה שלו לפי הבסיס Bהוא וקטור שמורכב מהמקדמים של הצ"ל. כלומרבאופן פורמאלי, אם מתקיים ההצגה של <math>v=a_1v_1+...+a_nv_n=b_1v_1+...+b_nv_n</math> אזי בהכרח לפי בסיס <math>B</math> הוא '''וקטור הקואורדינטות''' המסומן <math>[v]_B\forall i:a_iin\mathbb{F}^n</math> ומוגדר להיות <math>[v]_B=b_i\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix}</math>. (קל להוכיח את זה על ידי חיסור הצד הימני של המשוואה מהצד השמאלי, מקבלים צירוף לינארי שמתאפס עם מקדמים כאשר <math>a_i-b_iv=a_1v_1+...+a_nv_n</math>.)
תרגיל: הוכח כי לכל בסיס <math>B</math> מתקיים
'''טענה.'''
יהא <math>V </math> מ"ו ויהי B בסיס לו. יהיו מעל <math>u_1,...,u_k\in Vmathbb{F}</math> וקטורים כלשהם. הוכח:*ויהי <math>u_1B=\{v_1,...\dots ,u_kv_n\}</math> בת"ל אם"ם בסיס לו. יהיו <math>[u_1]_B,...,[u_k]_B\in V</math> בת"ל* וקטורים כלשהם וסקלארים <math>w\alpha_i,\dots ,\alpha_k \in span\mathbb{u_1,...,u_k\F}</math> אם"ם . הוכח:#<math>[w]_B\in spansum_{i=1}^k\{alpha_i[u_1u_i]_B,...,=[u_k\sum_{i=1}^k\alpha_iu_i]_B\}</math>
מ"ל את הטענה <math>[u_1]_B+[u_2]_B =[u_1+u_2]_B</math> ואת הטענה <math>\alpha[u_1]_B=[\alpha u_1]_B</math> (ואז המעבר לצ"ל כללי נעשה ע"י אינדוקציה)
נסמן <math>u_1=a_1v_1+...+a_nv_n, u_2=b_1v_1+...+b_nv_n</math> אזי <math>u_1+u2=(a_1+b_1)v_1+...+(a_n+b_n)v_n</math> ומתקיים
<math>[u_1]_B+[u_2]_B =\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}a_1+b_1 \\ a_2+b_2 \\ \vdots \\ a_n+b_n\end{pmatrix}
[u_1+u_2]_B</math>
בנוסף <math>\alpha u_1=\alph a_1a_1v_1+...+\alpha a_nv_n</math> ומתקיים
<math>\alpha[u_1]_B= \alpha \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} \alphaa_1 \\ \alpha a_2 \\ \vdots \\\alpha a_n\end{pmatrix} =
[\alpha u_1]_B</math>
<math>[v]_B=\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix}</math> אם"ם
והסק מכך ש
2. <math>u_1,...,u_k</math> בת"ל אם"ם <math>[u_1]_B,...,[u_k]_B</math> בת"ל
3. <math>w\in span\{u_1,...,u_k\}</math> אם"ם <math>[w]_B\in span\{[u_1]_B,...,[u_k]_B\}</math>
הוכחה:
1. מ"ל
נוכיח טענה זו בהמשך, לאחר שנלמד על העתקות לינאריות. כעת נניח שהיא נכונה ונתרכז בכלי החישובי המשמעותי שקיבלנו; כל בדיקה/חישוב של תלות לינארית או פרישה בכל מרחב וקטורי (מטריצות, פולינומים, פונקציות) יכול בעצם להעשות במרחב הוקטורי המוכר והנוח <math>\mathbb{F}^n</math>.
==צירופים לינאריים - דוגמאות נוספות==