שינויים
/* תשובה */
תהי מטריצה <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math>. מגדירים 4 מרחבים עיקריים:
*'''מרחב העמודות''' של A. זהו המרחב הנפרש על ידי עמודות המטריצה A. נסמן <math>C(A)=span\{C_1(A),...,C_n(A)\}=\{Ax\; | \; x\in \mathbb{F}^n\}\leq\mathbb{F}^m</math>
*'''מרחב השורות''' של A. זהו המרחב הנפרש על ידי עמודות שורות המטריצה A. נסמן <math>R(A)=span\{R_1(A),...,R_m(A)\}=\{A^tx\; | \; x\in \mathbb{F}^m\}=C(A^t)\leq\mathbb{F}^n</math>
*'''מרחב האפס''' של A. זהו מרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית <math>Ax=0</math>. נסמן <math>N(A)=\{x\in\mathbb{F}^n|Ax=0\}\leq\mathbb{F}^n</math>
*'''מרחב האפס השמאלי''' של A. זהו מרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית <math>A^tx=0</math>. נסמן <math>N(A^t)=\{x\in\mathbb{F}^m|A^tx=0\}=\{x\in\mathbb{F}^m|x^tA=0\} \leq \mathbb{F}^m</math>
\end{array}\right) \; | \; a,b\in \mathbb{R}\}
</math>
==== יישום: השלמה לבסיס ====
ראינו שמרחב השורות לא משתנה בדירוג. לכן כדי למצוא וקטור שאינו במרחב השורות, אפשר להסתכל הצורה המדורגת ולמצוא וקטור שאינו נמצא במרחב השורות של המדורגת.
כמו שראינו, אם <math>v\not\in span\{v_1,\dots, v_n\}</math> אזי <math>\{v_1,\dots v_n,v\}</math> בת"ל. ואם נמצא קבוצה בת"ל מקס' אזי היא בסיס.
דוגמא:
השלם את <math>
\{
\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}
\}
</math>
לבסיס.
נדרג
<math>
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 \\
2 & 1 & 1 & 3 \\
1 & 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & -1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
</math>
ומכאן רואים כי
<math>
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
</math>
אינו במרחב השורות. אם נוסיף אותו
<math>
\{
\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
\}
</math>
נקבל קבוצה בת"ל מגודל 4 ולכן בסיס
=== מרחב העמודות ===
מכיוון שמספר המשתנים החופשיים ועוד מספר המשתנים התלויים שווה לסך כל המשתנים, וזהו מספר העמודות במטריצה, נובע שדרגת המטריצה ועוד מימד מרחב הפתרונות שווים למספר העמודות.
כלומר '''משפט''' (הדרגה עבור <math>A\in \mathbb{F}^{m\times n}</math>מתקיים <math>rank(A)+\dim N(Aמטריצות) = n</math>
עבור <math>A\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> מתקיים <math>rank(A)+\dim N(A) = n</math>
זיכרו זאת, בהמשך נוכיח משפט הדרגה הכללי
====תרגיל====
ולכן <math>dim[C(AB)]\leq dim[C(A)]</math>.
באופן דומה <math>dim[R(AB)]\leq dim[R(A)]</math>(בעזרת <math>dim[R(AB)]\leq dim[R(A)]</math>)
מסקנה: יהיו <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n},B\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> ו - <math>B</math> הפיכה אזי <math>rank(AB)=rank(A)</math>
=== מרחב האפס ===
תרגיל: תהא <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math> ותהא <math>E\in\mathbb{F}^{m\times m}</math> מטריצה הפיכה. הוכח <math>N(A)=N(EA)</math>. פתרון: (<math>\supseteq</math>) יהא <math>x\in N(EA)</math> אזי <math>EAx=0</math> נכפיל ב <math>E^{-1}</math> משמאל ונקבל <math>Ax=0</math> כלומר <math>x\in N(A)</math> (<math>\subseteq</math>) יהא <math>x\in N(A)</math> אזי <math>Ax=0</math> נכפיל ב <math>E</math> משמאל ונקבל <math>EAx=0</math> כלומר <math>x\in N(EA)</math> אם ניקח <math>E</math> להיות המטריצה שמדרגת את <math>A</math> נקבל את '''דוגמא.מסקנה:'''דירוג אל מקלקל את מרחב האפס. תרגיל: מצא את מרחב האפס של<math>A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 4\\0 & 1 & 0 & 1\\1 & 3 & 3 & 5\end{array}\right)</math>. פתרון: אחרי דירוג קיבלנו<math>\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 4\\0 & 1 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 3 & 2\\0 & 1 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)</math>ולכן מרחב האפס הוא (<math>z=t,w=s</math>) <math>N(A)=\{\left(\begin{array}{c}-2s-3t\\-s\\t\\s\end{array}\right)=t\left(\begin{array}{c}-3\\0\\1\\0\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}-2\\-1\\0\\1\end{array}\right)\; | \; t,s\in \mathbb{R}\} =span\{\left(\begin{array}{c}-3\\0\\1\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-2\\-1\\0\\1\end{array}\right)\}</math>. ====דוגמא נוספת====
מצא בסיס למרחב האפס של המטריצה <math>\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 2\\ 1 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix}</math>
=== מרחב האפס השמאלי ===
תרגיל: מצא מצא את מרחב האפס השמאלי של<math>A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 4\\0 & 1 & 0 & 1\\1 & 3 & 3 & 5\end{array}\right)</math> פתרון: צ"ל <math>N(A^{t})</math>. נדרג את <math>A^{t}</math> <math>\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1\\2 & 1 & 3\\3 & 0 & 3\\4 & 1 & 5\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{array}\right)</math> עבור <math>z=t</math> נקבל <math>N(A^{t})=\{\left(\begin{array}{c}-t\\-t\\t\end{array}\right)\; | \; t\in \mathbb{R}\} =span\{\left(\begin{array}{c}-1\\-1\\1\end{array}\right)\}</math> ===סיכום: אלגוריתם למציאת '''שלושת''' מרחבי המטריצה <math>Cׂ(A),R(A),N(A)</math>===
#דרג את המטריצה (ניתן גם לדרג קנונית אך לא חובה)
#'''השורות השונות מאפס''' מהוות בסיס למרחב השורה
#'''העמודות במטריצה המקורית''' המהוות עמודות ציר (כלומר יש איבר פותח בעמודה בצורה הקנונית), מהוות בסיס למרחב העמודה
#הצב פרמטרים במקום המשתנים החופשיים#מצא ומצא את הפתרון הכללי#פרק את הפתרון הכללי לצירוף לינארי של וקטורים קבועים כפול הפרמטרים#למערכת ההומוגנית ששווה למרחב האפס. ('''הוקטורים הקבועים''' מהווים בסיס למרחב האפס)
'''שימו לב:''' בהנתן מרחב כלשהו (פולינומים, מטריצות, פונקציות) ניתן לבצע את החישובים על מרחב הקואורדינטות. כפי שראינו בשיעור שעבר, מציאת בסיס למרחבים רבים שקולה למציאת בסיס למרחב האפס של מטריצה מסוימת.
===תרגילים===
==== תרגיל ====
תהא <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math>. ראינו כי <math>dimR(A)+dimN(A)=n</math>. במקרה שהשדה הוא ממשי נקבל תוצאה חזקה יותר.
תהא <math>A\in\mathbb{R}^{m\times n}</math>. נסמן <math>B_R</math> בסיס למרחב השורות ו <math>B_N</math> בסיס למרחב האפס אזי <math>B_R\cup B_N</math>
בסיס ל <math>\mathbb{R}^n</math> (שימו לב שזה אכן תוצאה יותר חזקה))
'''פתרון.'''
מכיוון שהרגע ראינו כי סכום המימדים מקיים <math>dimR(A)+dimN(A)=n</math> לפי משפט המימדים מספיק להוכיח שהחיתוך בינהם הינו אפס.