שינויים
==שאלה 2==
א. חשבו את הגבול
ב. קבעו האם הגבול קיים:
===פתרון===
א.
שוב, המונה והמכנה שואפים לאפס ולכן ניתן להפעיל את כלל לופיטל.
כעת המונה שואף לאפס ואילו המכנה שואף לשתיים ולכן סה"כ הגבול הוא אפס.
ב.<br>נסמן את איברי הסדרה ב-::<math>a_n=\sum_{k=n}^{2n}\frac{1}{k}</math>
קל לראות כי
==שאלה 3==
קבעו לגבי כל טור האם הוא מתכנס בהחלט/בתנאי/מתבדר:
א. <math>\sum\frac{n+n^2+...\cdots+n^n}{n^{n+2}}</math>
ב. <math>\sum\frac{\cos\Bigleft(\frac{n\pi}{2}\Bigright)}{2n+\sqrt{n}}</math>
===פתרון===
א. <math>{\sum\frac{n+n^2+...\cdots+n^n}{n^{n+2}}}=\sum\frac{n\cdot\frac{1-n^{n}}{1-n}}{n^{n+2}}=\sum\frac{1-n^{n}}{(1-n)n^{n+1}}=\sum\frac{1}frac1{(1-n)n^{n+1}}-\frac{1}frac1{(1-n)n}</math>
ואלה שני טורים מתכנסים ולכן סה"כ הטור מתכנס בהחלט.
ב.כיון שהקוסינוס מקבל את הערכים <math>1,0,-1</math> במחזוריות הידועה, טור זה בעצם שווה לטור
:<math>\sum\frac{(-1)^{n+1}}{2(2n)+\sqrt{2n}}</math>
==שאלה 4==
תהי <math>f </math> מוגדרת על כל הממשיים, רציפה ב-<math>0 </math> ומקיימת <math>f(x+y)=f(x)+f(y)</math> לכל זוג מספרים <math>x,y\in\mathbb{R}</math>.
הוכיחו כי <math>f </math> רציפה על כל הממשיים.
===פתרון===
*ראשית נבחין כי <math>f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0)</math> ולכן <math>f(0)=0</math>
*כעת, נחשב את גבול הפונקציה בנקודה כללית לפי היינה:
*תהי <math>x_o\neq ne x_n\rightarrow to x_0</math>, אזי <math>\lim f(x_n)=\lim f(x_n-x_0+x_0)=\lim f(x_n-x_0)+f(x_0)</math> *כיוון כיון שהפונקציה רציפה באפס, וכיוון ב- <math>0</math> וכיון ש - <math>0\neq ne x_n-x_0\rightarrow to 0</math>, מתקיים <math>\lim f(x_n-x_0)=0</math> *ביחד <math>\lim f(x_n) = f(x_0)</math>, ולכן לפי היינה מתקיים <math>\lim_lim\limits_{x\rightarrow to x_0}f(x)=f(x_0)</math> ולכן הפונקציה רציפה.
==שאלה 5==
מצאו פולינום <math>p(x)</math> כך שלכל <math>x\in [0,1]</math> מתקיים <math>\Big|\cos(x)-p(x)\Big|<10^{-4}</math>
===פתרון===
מי מתנדב לתרום את התשובה המלאה?
אני!
לפי [[http://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A4%D7%95%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%95%D7%9D_%D7%98%D7%99%D7%99%D7%9C%D7%95%D7%A8 פונקציה זו]] ניתן לראות שבסה"כ צריך לגזור כמה פעמים(אם כי זה היה טריקי ונאלצתי לכתת חיפושיי באינטרנט). ע"פ פיתוח טיילור הפולינום של קוסינוס זה מה שמופיע וזה מספיק בשביל לקיים את התנאי הדרוש.
אני צודק ארז או שזה לא מספיק?\\
אז ככה: ניקח את <math>a=0 </math> ואז כל סינוס מתאפס ובעצם מה שנשאר זה הנוסחה הבאה:
<math>(-1)^i*x^(2i)/(2i)!</math>
כי קוסינוס אפס תמיד שווה אחד, ואז מה שקובע זה מספר הגזירה לסימן.עכשיו רק נותר למצוא את ה-I שיביא את השארית הרצויה, והוא שלוש(שימו לב שהתחלתי מאפס)
<math>\Bigg|\cos(x)-1+\frac{x^2/}{2}-\frac{x^4/}{24}+\frac{x^6/}{6!}\Bigg|<1/\frac1{10^4 } </math>
==שאלה 6==
תהי <math>f </math> פונקציה מוגדרת וגזירה על כל הממשיים, ונניח כי הגבול <math>\lim_{x\rightarrowto\infty}f'(x)</math> קיים וגדול מאפס. הוכיחו כי f אינה חסומה מלעילמ- <math>0</math> .
הוכיחו כי <math>f</math> אינה חסומה מלעיל.
===פתרון===
*נסמן <math>\lim_lim\limits_{x\rightarrowto\infty}f'(x)=L>0</math>. לכן קיים <math>M </math> כך שלכל <math>x>M</math> מתקיים <math>f'(x)>\frac{L}{2}>0</math>. *לכן, החל מ- <math>M </math> הנגזרת חיובית ממש ולכן הפונקציה מונוטונית עולה. *נניח בשלילה כי הפונקציה <math>f </math> חסומה, לכן היא מונוטונית וחסומה ולכן מתכנסת למספר ממשי אשר נסמן ב-נסמנו <math>K</math> . *לפי הגדרת הגבול, קיים '<math>M '</math> כך שלכל <math>x>M'</math> מתקיים <math>\Big|f(x)-K\Big|<\frac{k}{2}</math> .*לכן ביחד לכל זוג <math>x,y>M'</math> מתקיים <math>\Big|f(x)-f(y)\Big|< K</math> *ניקח <math>x>M,M'</math> אזי לכל <math>h>0</math> לפי משפט '''לגראנז'''' קיים <math>x<c<x+h</math> כך ש- ::<math>f'(c)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math> *כעת, מתקיים <math>f'(c)>\frac{L}{2}</math>, אבל מצד שני <math>\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\leq le \frac{K}{h}</math> ולכן עבור <math>h מספיק </math> גדול מספיק נקבל סתירה.