שינויים
רציפות
,<videoflash>OvCi6W1BOh8</videoflash>
אנו מעוניינים להגדיר את המושג האינטואיטיבי של רציפות. כיוון כיון שיש לנו את מושג הגבול (הגובה אליו הפונקציה שואפת בנקודה מסוימת), נרצה באופן טבעי כי ערך הפונקציה יהיה שווה לגבול שלה בנקודה.
<font size=4 color=#3c498e>
'''הגדרה.'''
</font>
תהי <math>f </math> פונקציה. אומרים כי <math>f </math> '''רציפה בנקודה <math>a</math>''' אם ערכה בנקודה שווה לגבול שלה בנקודה::<math>\lim_{x\rightarrow to a}f(x)=f(a)</math>
'''שימו לב''' כי הגדרת הרציפות הנה נקודתית. נהוג לומר על פונקציה שהיא רציפה בקטע אם היא רציפה בכל נקודה בקטע.
'''שימו לבמשפט.''' כי הגדרת הרציפות הינה נקודתיתתהיינה <math>f,g</math> פונקציות רציפות. נהוג לומר על פונקציה שהיא אזי פונקצית המנה <math>\frac{f}{g}</math> רציפה בקטע אם היא רציפה בכל נקודה בקטע.בדיוק בנקודות בהן <math>g\ne 0</math>
'''משפט(הרכבה של רציפות).''' תהיינה f,g פונקציות רציפות. אזי פונקצית המנה תהי <math>\frac{f}{g}</math> פונקציה רציפה בדיוק בנקודות בהן בנקודה <math>g\neq 0L</math> '''משפט (הרכבה של רציפות).''' תהי g פונקציה רציפה בנקודה L. תהי <math>f </math> פונקציה המקיימת <math>\lim_lim\limits_{x\rightarrow to x_0}f(x)=L</math> אזי ::<math>g(f(x))</math> רציפה בנקודה <math>x_0</math>
<font size=4 color=#a7adcd>
'''דוגמא.'''
</font>
תהיינה <math>f,g </math> פונקציות רציפות. הוכח כי פונקציה המקסימום המוגדרת על -ידי::<math>\max(f,g)(x):=\max\Big\{f(x),g(x)\Big\}</math>
רציפה.
'''הוכחה.'''
קל להוכיח כי פונקצית הערך המוחלט הינה הנה פונקציה רציפה. עוד קל לראות כי :<math>\max(f,g)=\frac{f+g}{2}+\frac{|f-g|}{2}</math>אכן, בנקודה בה <math>f(x)>g(x)</math> מקבלים <math>\max(f,g)(x)=f(x)</math> , ולהפך.
<videoflash>UmJuPo5QnaU</videoflash>
פונקציה אינה רציפה בנקודה <math>x_0</math> אם"ם אחד לפחות מבין התנאים הבאים מתקיים:
#הגבול של הפונקציה ב-<math>x_0</math> אינו קיים במובן הצר
#הפונקציה אינה מוגדרת בנקודה <math>x_0</math>
#הגבול קיים במובן הצר, הפונקציה מוגדרת, אך ערך הפונקציה שונה מהגבול בנקודה <math>x_0</math>
אנו מחלקים את נקודות אי-הרציפות לשלושה מקרים:
===אי-רציפות ממין ראשון===
אומרים כי ל- <math>f</math> קיימת '''נקודת אי-רציפות ממין ראשון''' בנקודה <math>x_0</math> אם הגבולות החד-צדדיים שלה בנקודה '''קיימים במובן הצר ושונים'''.
במקרה זה ניתן לחלק את הפונקציה לשתי פונקציה שאחת רציפה מימין בנקודה והשניה רציפה משמאל בנקודה.
==תרגילים==
'''תרגיל.'''
</font>
תהי <math>f </math> פונקציה רציפה. מצא וסווג את נקודות אי -הרציפות של::<math>g(x):=\frac{f(x)}{|f(x)|}</math>
'''פתרון.'''
עוד נשים לב, שכאשר <math>f(x)>0</math> אזי <math>g(x)=1</math>, כאשר <math>f(x)<0</math> אזי <math>g(x)=-1</math>.
בנקודה בה <math>f </math> שווה לאפס:*אם בסביבה מנוקבת כלשהי של הנקודה הפונקציה <math>f גדולה ממש מאפס>0</math> , זוהי נקודת אי -רציפות סליקה (שכן הגבול בה הוא אחד).*אם בסביבה מנוקבת כלשהי של הנקודה הפונקציה <math>f קטנה ממש מאפס<0</math> , זוהי נקודת אי -רציפות סליקה.*אם קיימת סביבה ימנית בה הפונקציה <math>f גדולה מאפס>0</math> , וקיימת סביבה שמאלית בה הפונקציה <math>f קטנה מאפס <0</math> (ולהפך) זוהי נקודת אי -רציפות ממין ראשון (גבול חד -צדדי שווה אחד<math>1</math> , והשני מינוס אחד<math>-1</math> ).
*כל מצב אחר (באחד הצדדים לפחות, בכל סביבה, יש אינסוף אפסים או אינסוף שינויי סימן), זוהי נקודת אי רציפות מהמין השני שכן אין גבול ל-g בנקודה.
'''דוגמא.'''
לפונקציה <math>\frac{\sin(x)}{|\sin(x)|}</math> יש נקודות אי -רציפות ממין ראשון בכל כפולה שלימה של פאי.
<font size=4 color=#a7adcd>
'''תרגיל.'''
</font>
<math>f(x)=e^{-\frac{1}{\sin(x^2)}}</math>
'''פתרון.'''
<math>\pm\sqrt{\pi k}</math>
נחלק את נקודות אי -הרציפות לשניים: <math>k=0</math> וכל השאר. כאשר <math>k=0</math>, מתקיים כי <math>\lim_{x\rightarrow 0} \frac{1}{sin (x^2)}=\infty</math> כיוון שהסינוס '''תמיד חיובי''' באיזור זה (הרי <math>x^2</math> גדול ממש מאפס). ולכן סה"כ: ::<math>\lim_{x\rightarrow 0} e^{-\frac{1}{sin(x^2)}}=0</math> ולכן '''אפס''' היא נקודת אי רציפות '''סליקה'''.
כאשר <math>k=0</math> , מתקיים כי <math>\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{\sin(x^2)}=\infty</math> כיון שהסינוס '''תמיד חיובי''' באיזור זה (הרי <math>x^2</math> גדול ממש מאפס). ולכן סה"כ:
:<math>\lim_{x\to 0}e^{-\frac{1}{\sin(x^2)}}=0</math>
ולכן '''אפס''' היא נקודת אי-רציפות '''סליקה'''.
בשאר הנקודות, הסינוס חיובי מצד אחד, ושלילי מהצד השני ולכן בצד אחד הפונקציה אינה חסומה, והן נקודות אי -רציפות מ'''מין שני'''