שינויים
המספר e
,==המספר e==
לסדרה <math>a_n=\Bigleft( 1+\frac{1}{n}\Bigright)^n</math> יש גבול ממשי (כפי שמוכח בהמשך). '''אנו מגדירים את המספר e''' להיות גבול הסדרה הזו.
::<math>e:=\lim\Biglimits_{n\to\infty}\left( 1+\frac{1}{n}\Bigright)^n</math>
'''משפט.''' תהי <math>a_n</math> סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, אזי <math>e=\lim\Biglimits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{a_n}\Bigright)^{a_n}</math>
'''משפט.''' תהי <math>a_n</math> סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, ותהי <math>b_n</math> סדרה המתכנסת (במובן הצר, או במובן הרחב) לגבול L. אזי <math>e^L=\lim\Biglimits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{a_n}\Bigright)^{a_n\cdot b_n}</math>
<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' </font>
חשב את גבול הסדרה <math>a_n=\Bigleft(1-\frac{1}{n}\Bigright)^n</math>
<math>\Biglim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\Bigright)^n\rightarrow =e^{-1}=\frac{1}{e}</math> ==תכונות ==
==תכונות==
הסדרה <math>\left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math> מתכנסת לגבול ממשי, וכמו כן לכל מספר טבעי n מתקיים כי:
אפשר להוכיח כי הסדרה השמאלית מונוטונית עולה, ונוכיח כי הסדרה הימנית מונוטונית יורדת.
מובן מאליו כי
אם כך, שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות.
כמו כן:
וביחד אנו מקבלים את מה שרצינו להוכיח, כיוון שסדרה מונוטונית עולה תמיד קטנה מגבולה, וסדרה מונוטונית יורדת גדולה מגבולה.
נסמן
רוצים להוכיח
כלומר
נפתח את אי השיוויון-השוויון:
:<math>\left(1+\frac{1}{n+1}\right)<\left(\frac{1+\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n+1}}\right)^{n+1}=\left(\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}\right)^{n+1}=\left(1+\frac{1}{n(n+2)}\right)^{n+1}</math>
כעת נשים לב כי לפי פיתוח הבינום של ניוטון מתקיים:
לכן מספיק להוכיח כי
אבל קל לראות כי אי שיוויון זה מתקיים תמיד:
==דוגמאות==
<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>
לכן לפי משפט אם <math>\frac{a_{n+1}}{a_n}\rightarrow to L</math> אזי גם <math>\sqrt[n]{a_n}\rightarrow to L</math>.
לכן הגבול הינוהנו: