שינויים
/* פיתרון למבחן */ פסקה חדשה
=ארכיון=
*[[שיחה:88-230 סמסטר א' תשעא/ארכיון 1 | ארכיון 1]]
=שאלות=
==תרגיל==
ארז, התרגיל הוא ליום ראשון, מחר כבר יום חמישי והתרגיל לא נמצא באתר.. יש מצב להאריך את ההגשה ליום שלישי או משהו?
:על איזה תרגיל מדובר? --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 23:47, 3 בנובמבר 2010 (IST)
::תרגיל 4 --[[משתמש:זיתוני|זיתוני]] 07:45, 4 בנובמבר 2010 (IST)
:::אני לא רואה שום תרגיל 4 השבוע --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 11:47, 4 בנובמבר 2010 (IST)
::::אנשים - די כבר לשאול שאלות קיטבג!
==שאלה==
===תשובה===
===תשובה===
* יש למצוא את הערך המקסימלי שy מקבל על העקומה.
* ניתן לחלק את העקומה ל2:
** ערכי העקומה סביבם לא ניתן להפעיל את משפט הפונקציה הסתומה
*** אותם נבדוק אחד אחד
** ערכי העקומה סביבם ניתן להפעיל את משפט הפונקציה הסתומה
*** אם ערך מקסימלי גלובלי של y מתקבל בנקודה כזו, בוודאי הוא מקסימום מקומי, ולכן הנגזרת של הפונקציה הסתומה בסביבה זו חייבת להיות אפס
* לכן, ערך הy המקסימלי מתקבל בהכרח על נקודה בה לא מתקיים משפט הפונקציה הסתומה או נקודה בה הנגזרת של הפונקציה הסתומה הוא אפס
* בודקים את '''כל''' הנקודות הנ"ל ומחפשים בינהם את ערך הy הכי גדול שמתקבל - הוא חייב להיות ערך המקסימום הגלובלי (כי אין לו מקום אחר להסתתר בו).
--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:המטרה של ההזזה 29, 26 בנובמבר 2010 (IST)::סבבה, הבנתי, אבל.. נק'''אינה''' "לתקן" שמאפסת את החלק הריבועיהנגזרת לפי Y היא בהכרח קיצון מקומי? (במקרה הראשון, אלא ערכי העקומה סביבם לא ניתן להפעיל את החלק הלינארימשפט הפונקציה הסתומה). כלומר, אם הייתי מקבלת ערך במקרה הראשון שגדול יותר מכל נק' שמצאתי דרך משפט הפונקציה הסתומה, האם זה אומר שהיא בוודאות מקסימום? (היא יכולה גם להיות אוכף או משהו כזה..):::אם הוא לא היה מקסימום, כלומר היה נקודות גבוהות ממנו בסביבה שלו, נכון? ואז הן היו צריכות להופיע מתישהו בחישובים שלנו. זה גם מסתמך, בלי שאמרנו מפורשות, על העובדה שקיים מקסימום בכלל (זה מתוך קומפקטיות של העקומה). --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 19:37, 26 בנובמבר 2010 (IST)::::תודה רבה! :)
:ספירת היחידה- כל הנקודות במרחק 1 מהראשית. וכן, משיק בכל נקודה עליה. --[[משתמש:<math>\vec{v}'^t A \vec{v}' + C' = 0</math>ארז שיינר|ארז שיינר]] 18:50, 25 בנובמבר 2010 (IST)
==שאלה==ארז, אני מבין שהתרגיל של השבוע מפצה על שני התרגילים שלא היו.. ::אזS בכל מקרה, בשאלה 4, ניתן די בקלות לומר שבמקום המטריצה <math>A</math> ניתן לשים נניח והנחתי בשלילה שF כן דיפרנציאבילית ב(או0, במילים אחרות, "חילוף קורדינאנטות"0)::את המטריצה האלכסונית עם הערכים העצמיים: (ב-<math>\R ^3</math>, למשל)איך אני יכול לומר שזה גורר שגם G דיפ' ב0?
:דווקא יצאו מעט שאלות, ורובן טכניות ופשוטות. בכל אופן אני לא מבין את השאלה - באמצעות כלל השרשרת כמו שבקשנו. --[[משתמש:<math>A' = diag(\lambda_1 ארז שיינר|ארז שיינר]] 18:55, \lambda_2 , \lambda_325 בנובמבר 2010 (IST)</math>
:::אז אתם עושים את ההזזה לפני לכסון המטריצה. בכל מקרה x וy מעניינים רק על מעגל היחידה, לא יודעים את צורת השניונית לפני שמחשבים ע"ע כך שאני לא רואה איך זה יותר פשוט או מהיר. אבל ? אם זה עובדהבעייה היא עם הקצוות, זה סבבה מבחינתנואיך ניתן לטפל בבעייה זו? וצריך לטפל באופן פרטני בנקודות הבעייתיות שנשארות. (אפשר להשתמש בטיעונים גיאומטריים) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 0019:0442, 17 באוקטובר 26 בנובמבר 2010 (IST)
:::: כתוב :באיזה טיעונים גאומטריים אפשר להשתמש? וזה עדיין לא ממש פותר לי במחברת שצריך לבצע הזזה את הבעיה. אם אני לוקחת את מינוס השורש, יוצא משטח משיק אחר. (כי המינוס משפיע על הנגזרת לפי:X ולפי Y, אבל בחלק של z-z0 לא נוסף לי מינוס.):::: <math>\vec{\alpha} = ::נו ברור שיצא מישור אחר, מדובר על נקודות אחרות בספירה. הרי הספירה היא לא גרף של שום פונקציה אחת. ואילו תכונות גיאומטריות יש לספירה? למשל, סימטריות. האם חייבים לחלק לפי ציר y? -\frac{1}{2} A^{-1} b</math>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 16:35, 27 בנובמבר 2010 (IST)
:כן, אם זה מספיק להוכחת התרגיל הקודם, אין עם זה בעייה --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 19:: <math>v^t A v + C' = 0</math>44, 26 בנובמבר 2010 (IST)
==שאלה==בכיתה הגדרנו את משוואות המישור המשיק כך:::: כאשר, <math>C' z-zo= \alpha^t A \alpha + b^t \alpha + C</math>מכפלה פנימית של הגרדיאנט ב(xi-ai).האם אפשר להשתמש בהגדרה זו כדי לפתור את תרגיל 5 מהתרגיל, או שצריך את ההגדרה מהתרגול? בתרגול הגדרנו את המישור המשיק אחרת.. (אפשר להגיע לשקילות בהגדרות באמצעות התרגיל שפתרנו בכיתה, אבל האם יש צורך לחזור עליו?)
:::: עכשיו באמת ניתן למצוא ערכים עצמייםאפשר להשתמש בהגדרה הנוחה יותר, ולהחליף לכן עשינו את A במטריצה האלכסונים עם הע"ע שלההתרגיל הזה בתרגול, מותר להשתמש בו באופן כללי.--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:46, 27 בנובמבר 2010 (IST)
למתי התרגיל?:::::במקרה זה אי אפשר להפטר מהחלק הלינארי, כמו למשל בפרבולהמחר. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 23:3651, 17 באוקטובר 27 בנובמבר 2010 (IST)
==שאלה בנוגע לתרגילי הבית==האם לקבוצת תרגול של ארז ושל איראנה יהיו תרגילי בית שוניםלמה צריך לדרוש עבור טיילור עם פנאלו שהפונק' תהיה גזירה ברציפות עד סדר n+1? מספיק עד סדר n לא?
:לא, אותו תרגיליכול להיות שטעיתי בזה. תסתכלו במשפט מההרצאה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 2315:3445, 17 באוקטובר 29 בנובמבר 2010 (IST)
== תרגיל טור טיילור עם שארית פיאנו ==
===תשובה===
פולינום טיילור בצורת פיאנו הינו <math>p(x)=f(x_0)+...+\frac{1}{r!}d^rf_{x_0}(h)+o(||h||^r)</math> כאשר <math>h=x-x_0</math>. == שאלה == למתי תרגיל 6?:ליום ראשון בעוד שבוע --[[משתמש:אהארז שיינר|ארז שיינר]] 14:51, לא. אלה סתם צורות סימון שונות4 בדצמבר 2010 (IST) == תרגיל 6 שאלה 1 == בתרגיל 6 שאלה 1 סעיף ג', במכנה אמור להיות <math>\partial x^2 \partial y^4</math> במקום <math>\partial x^2 \partial x^4</math>? :פורסם תיקון. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 1314:5750, 23 באוקטובר 4 בדצמבר 2010 (IST) ==שאלה 5==סעיף ב' טריוויאלי לפי אריתמטיקה, לא? אני לא ממש מבין מה אני צריך להוכיח פה. צריך הוכחת אפסילונים-דלתות או משהו?.. שני הכיוונים ברורים מאריתמטיקה והוצאת קבוע. ואגב, הכוונה היא לx->0 כמו שאר הסעיפים? :כן, זה סעיף קל. ==המייל של אירנה==מישהו יודע מהו המייל של אירנה? ==שאלה 5==בסעיף ג, אני חושב שהכי פשוט לפתור לפי סנדביץ', ולא צריך את הבינום... ==שאלה 1==ארז,אולי תתן רמז איך להוכיח שהסכום של (xy)בחזקת i (מ5 עד אינסוף) הוא "או" של h^8? (: (לא ארז) אפשר להעביר לקואורדינטות פולריות, כמו שעשינו בתרגוללאיזה טור הגעת לפני שטענת שהוא שואף ל0? (אחרי שהצבת את הקואורדינטות הפולאריות) ::: זה פשוט סכום של סדרה הנדסית - ::: <math>\frac{1}{1-xy} = \sum_{n=0}^{\infty}(xy)^n = 1 + xy + (xy)^2 + (xy)^3 + ...</math>::: אם רוצים פולינום טיילור מסדר 8, אוספים את כל האיברים שחזקתם אינה עולה על 8. (למשל, xy).::: (בשביל מה לעשות מעבר לקואורדינטות פולריות?..) == תרגיל 6 שאלה 6 == לא ממש הבנתי מה צריך לעשות בשאלה הזו. אפשר לחשב את הפיתוח לפי ההגדרה (נגזרות חלקיות) ואז לרשום אתהשארית בתור מכפלה של טורים מאינפי 2, אבל לא ברור לי אם זאת הכוונה בתרגיל, ואם צריך לרשום את השארית בצורה כזו או יותר פשוטה? צריך גם להוכיח שהיא (o(h^3?::: למיטב הבנתי, ניתן לרשום - ::: <math>e^{2x} \ln(1+y) = (1+2x+\frac{(2x)^2}{2!}+\frac{(2x)^3}{3!}+...) \cdot(y-\frac{y^2}{2}+\frac{y^3}{3}-\frac{y^4}{4}+...)</math>::: שכן, <math>e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math>, וכן <math>ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n}</math>::: צריך פשוט לאסוף את כל האיברים שחזקתם לא גדולה מ-2. והשארית, בצורת Peano, הינה <math>o(||\vec{r}|| ^2)</math>, כאשר <math>\vec{r}\equiv (x,y)</math> == בעיה בהגשת תרגיל == לא יכולתי להגיע היום לשיעור מכיוון שהייתי בצבא.מתי אפשר להגיש את התרגילים ואיך?תודה.
==שאלה==
:רשמת בעצמך "עבור הכדור המתאים"כן, כלומר יש כדור עבורו זה מוכל ממש. יכול להיות שיש כדור עבורו הם שווים, אז לוקחים כדור קטן יתר והוא המתאים. זה בדיוק כמו ההבדל בגבול סדרות בין <math>|a_n-L|\leq \epsilon</math> לבין <math>|a_n-L|<\epsilon</math>. הגדרת הגבול נשארת זהה אם מחליפים את הקטן ממש בקטן שווה, וכך גם פה. (אם הבנתי נכון את השאלה). --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 16:37, 23 באוקטובר 2010 (IST)מספיק להוכיח שפונקציה דיפרנציאבילית ברציפות על מנת להוכיח שהיא דיפ'
==שאלה==
==שאלה כללית לגבי שארית Peano=תשובה=לא הבנתי למה אנו נדרשים להוכיח כל הזמן שהשארית (בצורת Peano) הינה <math>o(||h||^n)</math>, הרי ניתן להראות שזוהי תכונה של טור טיילור,כאשר הפונקציה מקיימת <math>f \in C^n[K]</math>, ו-<math>K</math> הוא ריבוע (מלבן). אם נסתמך על כלל לופיטל ל-n משתנים, נקבל כי -<math>\lim_{x \rightarrow x_0} R_n(x) =\lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)-p_n(x)}{||x-x_0||^n} =\lim_{x \rightarrow x_0} \frac{D(f(x)-p_n(x))}{D(||x-x_0||^n)}= ... = 0</math>.זה דומה לאינפי 1כאן, <math>x=(x_1,x_2,. ..,x_k)</math> ו-<math>x_0=(x_{0_1},x_{0_2},...,x_{0_k})</math>. <math>p_n</math> זהו פולינום טיילור מסדר n, ו-<math>R_n</math> זו השארית. <math>D=\partial_{x_1}+\partial_{x_2}+...+\partial_{x_k}</math> זהו אופרטור הגזירה (לפי כל המשתנים). מכל-מקום, אם <math>f \not\in C^n[K]</math> הרי אין התכנסות לפי קושיכל טעם לדבר על טור טיילור, זה אומר שיש אפסילון, עבורו בכל כדור קטן כפי שנרצה סביב נקודת הגבול<math>p_n(x)</math>, שהרי המקדמים אינם מוגדרים היטב! (<math>a_{\alpha}=\frac{D^{\alpha}f(x_0)}{\alpha!}</math>) '''לסיכום''' -- האם יש נקודה בה הפונקציה רחוקה מרחק אפסילון ומעלה מהגבול הרצויצורך להראות שאכן השארית בטור טיילור (כאשר מתקיימים התנאים להלן) הינה שארית Peano. אם נבחר .?? ::: אגב, את הנקודה כלל לופיטל ל-n משתנים ניתן להוכיח בצורה דומה למשתנה אחד, כדלקמן:::: תהיינה <math>f(\bold{x}), g(\bold{x})</math> פונקציה דיפרנציאבילית ומוגדרת בריבוע (מלבן) <math>K</math>. כאן, <math>\bold{x}=(x_1,x_2,...,x_n)</math>. (<math>\bold{x} \in \R^n</math>)::: תהי <math>\bold{x}_0 \in K</math> כך שבנקודה הזו מתוך כל כדור מתקיים -::: <math>\lim_{\bold{x} \rightarrow \bold{x}_0} f(בסדרת כדורים עם רדיוסים קטנים \bold{x}) = \lim_{\bold{x} \rightarrow \bold{x}_0} g(\bold{x}) = 0</math>::: נוכל אפוא להגדיר את הפונקציות <math>f</math> ו- אלה הדלתות<math>g</math> כך ש-<math>f(\bold{x}_0) נקבל סדרה מתכנסת=g(\bold{x}_0)=0</math>.::: דבר זה לא ישפיע, כמובן, אבל הפונקציה על הסדרה לא יכולה להתכנס לגבול הרצויערך גבול המנה במקודה, בסתירהאך כך הפונקציות תהיינה רציפות בנקודה. ::: עפ"י משפט הערך הממוצע נוכל לרשום -::: <math>\frac{f(\bold{x})}{g(\bold{x})} = \frac{f(\bold{x})-[[משתמשf(\bold{x}_0)}{g(\bold{x})-g(\bold{x}_0)} = \frac{\partial_{x_1}f(\xi)\cdot \Delta x_1+...+\partial_{x_n}(\xi)\cdot \Delta x_n}{\partial_{x_1}g(\eta)\cdot \Delta x_1 +...+ \partial_{x_n}\cdot \Delta x_n}</math>:ארז שיינר|ארז שיינר:: היכן ש-<math>\Delta x_\mu = x_\mu - {x_0}_\mu</math> (<math>\forall 1 \le \mu \le n</math>)::: כאשר, <math>\xi=\xi(\bold{x})</math> וכן, <math>\eta=\eta(\bold{x})</math>.::: כמו-כן, ממשפט הערך הממוצע ידוע כי <math>\xi = \bold{x}_0 + t\cdot (\bold{x} - \bold{x}_0)</math> ו-<math>\eta = \bold{x}_0 + s\cdot (\bold{x}-\bold{x}_0)</math> כאשר <math>t,s \in [0,1]] 01</math> (דהיינו, הנקודות נמצאות על הישר המבחר את <math>\bold{x}_0</math> ו-<math>\bold{x}</math>).:34:: אם נבחר, 24 באוקטובר 2010 פרט, סדרת נקודות <math>{\bold{x}_n}</math> כך ש- <math>\Delta x_\mu</math> הוא קבוע (ISTלכל אינדקס <math>\mu</math>), אזי נקבל כי -::תודה: <math>\frac{f(\bold{x}_n)}{g(\bold{x}_n)} = \frac{Df(\xi(\bold{x}_n))}{Dg(\eta(\bold{x}_n))}</math>::: כיוון ש-<math>\bold{x}_n \rightarrow \bold{x}_0</math>, וברור כי <math>\xi(\bold{x}_n),\eta(\bold{x}_n) \rightarrow \bold{x}_0</math>, וכן הנחנו שהגבול של מנת הנגזרות קיים, אזי::: שלכל סדרה הגבול יתכנס גם לערך זה, וממילא קיבלנו את נכונות המשפט!מ.ש.ל! == הגשת תרגיל 7 ==
==שאלה==
==תרגיל 8 שאלה 5 =תשובה===אני לא בטוח מה ההגדרות שניתנו בשיעור (בד"כ כך מגדירים קבוצה סגורה, אם המשלימה שלה פתוחה), אבל אפשר להוכיח את זה גם מתוך ההגדרות בעזרת כדורים.
==דיפרנציאביליותתרגיל 8 ==ארז.. בכיתה אמרת שהגדרת הנגזרת החלקית היא f(x1,..xk+h,..xn)-f(x1,..,xn) qq חלקי h (הגבול, כאשר h שואף ל0) ובאתר הוספת הערה שלפי הגדרה, למשל עבור n=2 מקבלים fx(0,0)=limf(h,0) qq כאשר h שואף ל0 (ציינת שזה לפי הגדרה..). אני לא ממש מבין איפה האנלוגיה פה ואיך הגעת לזה..
==שאלה=תשובה=למה לא קיים לפונקציה הבאה גבול ב0,0:f(x,y) = 0 if xy=0, 1, otherwiseכלומר, איך מראים את זה?תהי <math>f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m</math>. אומרים שf דיפרנציאבילית בנקודה a אם קיימת העתקה לינארית <math>df_aלוקחים שני מסלולים:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m</math> כך ש<math>\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+hx,0)-fו(ax,x)- df_a(hכשx שואף ל0)}{||h||}=0</math>. הראשון שואף ל0 והשני שואף ל1.
איפה אפשר להגיש את התרגיל? (אם אני לא מגיע לשיעור חזרה):לתת למישהו שיגיש בשיעור החזרה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 2218:0835, 27 באוקטובר 2010 10 בינואר 2011 (IST)
==שאלותשאלה==*קודם כל, לגבי נגזרות חלקיות.. מתי לחשב לפי הגדרה ומתי לפי הדרך הרגילה (כמו שאנחנו יודעים)באיזה שעה יהיה השיעור חזרה? בכיתה היו כמה תרגילים שחישבת לפי הגדרה וכמה לפי גזירה לפי משתנה אחד.. למשל בשאלה 2 או 3 בש.ב, אפשר בשתי הדרכים? (למרות שברור באיזו דרך עדיף ב2 לפחות..)*האם זה טריוויאלי ששורש חמישי של (h1^2*h2^3) שואף ל0 כאשר h1,h2 שואפים ל0תהיה אפשרות שהוא יגמר לפני 6?*אם הגעתי לכבול של (נורמה3 של H פחות נורמה1 של H) חלקי (נורמה2 של H). קצת נתקעתי בלהוכיח לאן זה מתכנס? (כאשר h1,h2->0)::לשאלתך האחרונהרשמתי בדף ההודעות, קח איזהשהי תת סדרה עבור h1,h2 ותבדוק מה יוצא הגבול. לא סביר שזה יסתיים לפני שש (לדוגמא, <math>\frac{1}{n}</math>קבעתי מאוחר בגלל שיש מבחנים) . --[[משתמש:Eliavlevyארז שיינר|Eliavlevyארז שיינר]] 2012:3553, 28 באוקטובר 2010 12 בינואר 2011 (IST):::אבל אמור להיות גבול בסופו של דבר, לא? פשוט למצוא את הגבול לפי הת"ס ולהוכיח לפי הגדרה שזהו הגבול.?
==שאלה==
כשאני מחשב מינימום של פונקציה עם תנאים (כופלי לגרנז'), אני צריך לוודא שזה אכן מינימום ולא אוכף או מקסימום עם ההסיאן?
:ההסיאן לא בהכרח הכי יעיל לקיצון עם אילוצים מכיוון שיכול להיות שהנקודה אינה מינימום כללי אלא רק מינימום בהתחשב באילוץ. יש לבדוק האם הדיפרנציאל השני חיובי (שלילי) לחלוטין באיזור הנקודה בהתחשב באילוצים. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 12:56, 12 בינואר 2011 (IST)
:ההסיאן הוא מטריצה מייצגת של תבנית ריבועית. כדי לטפל בבעיות עם אילוצים, אפשר לצמצם את התבנית למרחב המשיק לאילוצים; לפעמים התבנית המצומצמת היא חיובית או שלילית לחלוטין, גם כשהתבנית המקורית אינה מוחלטת. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 13:57, 12 בינואר 2011 (IST)
==שאלה=תשובה=ארז ביום שני יש גם בגרות באנגלית וגם מבחן בתורת המספרים. יש סיכוי לשנות את התרגול??:לכן זה בשעה 17:00, אחרי הדברים האלה. יש בנוסף תרגול למחרת, אני לא רואה עוד אופציות. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 14:10, 12 בינואר 2011 (IST)::למה התרגול חזרה הוזז מלכתחילה מיום ראשון? פרופסור אגרנובסקי עושה שיעור חזרה ביום ראשון בין 2 ל-4 בכל מקרה:::כי יום ראשון זה יום לפני הבחינה בתורת המספרים (לא ארז) ==שאלה==*האם תתרגל חומר של אינפי 4, או שהתרגול יהיה רלוונטי גם לתלמידי אגרנובסקי?:בהשלמה אני עושה אינטגרלים קוויים, בחזרה אני אעשה חזרה על כל החומר. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 03:23, 13 בינואר 2011 (IST) == מבחן- קבוצה של פרופסור אגרונובסקי == האם מישהו יכול לכתוב כאן מה מבנה הבחינה, הבחירה במבחן, איזה משפטים צריך לדעת להוכיח, מבחן משותף או לא וכו...בקיצור- כל מה שידוע על המבחן.(הקבוצה של אגרונובסקי) -2 מתוך 3 - חלק זה יכול לכלול שאלות הוכחה מבין המשפטים שהוא נתן (7 משפטים) אך יכול להכיל דברים אחרים גם -4 מתוך 6 - שאלות בנושא קיצון, אנטגרלים, רציפות ובעצם על כל החומר המשפטים שצריך להוכיח הוא חילק בדף, בגדול 1. נגזרות קיימות ורציפות בסביבה גוררות דיפרנציאביליות בנקודה 2. נוסחת טיילור עם שארית לגרנז' 3. גרדיאנט מגדיר כוון של עליה של פונקציה בנקודה בקצב מקסימלי 4. נתון משטח, להוכיח שהגרדיאנט הוא וקטור-נורמל למישור משיק, לבנות משוואה של המישור המשיק 5. תנאי הכרחי של קיצון מקומי בעזרת דיפרנציאל ראשון 6. תנאי מספיק של קיצון מקומי בעזרת דיפרנציאל שני 7. הנזגרות החלקיות של פרמטריזציה לפי הפרמטרים מהווים בסיס למישור המשיק (המשפט ב-R3) המבחן לא משותף ומי שצריך לעבור קבוצה למבחן צריך אישור ממלי ו\או מהבוחנות, נשלח מייל ארז! אתה יכול בבקשה להעלות כבר את הפתרונות לתרגילים?!?!?! ==שאלה==בבעיות קיצון עם אילוצים, יש משהו שלא כ"כ ברור לי: הרבה פעמים כדי לחלץ את x,y,z מהמשוואת המורכבות, יש לחלק בדלתא, או בביטויים כמו באינפי עד עכשיו x-z וכו'. האם מותר לעשות את זה? :ומה השיטה לבדוק האם מדובר במקסימום או מינימום? האם כדאי להציב בפונקציה ולראות למשל, שאם עבור נק' אחת יוצא ערך חיובי ועבור נקודה שניה יוצא ערך שלילי, אז ברור שהערך הראשון -> מקסימום והשני ->מינימום? (בהנחה שיצאו שני ערכים למשל)או לגזור את L פעמיים..?:שאלה נוספת: בבעיות קיצון עם אילוצים כאשר מגבילים את התחום לכדור למשל, צריך לבדוק בתוך הכדור ובשפה שלו בנפרד, נכון?:: כשמחלקים בביטוי כמו <math>\ x-z</math> מניחים במובלע ש- <math>\ x\neq z</math>; אם יש בזה צורך, כדאי לנתח בנפרד את ההתנהגות של הפונקציה בקבוצה הפתוחה <math>\ x\neq z</math>, ובקבוצה הסגורה <math>\ x=z</math> (זה עובד סימן שהצלחת, כמובן, אילוץ).*כן:: ההתנהגות של הפונקציה בסביבה של נקודה חשודה תלויה בתבנית הריבועית <math>\ D^2f</math>: אם היא חיובית לחלוטין זו נקודת מינימום (במובן החזק), קל להראות ואם זו נקודת מינימום (במובן החלש) אז התבנית חיובית. (אם התבנית אינה חיובית אז הנקודה אינה נקודת מינימום; בכך שהתבנית חיובית סתם אין די כדי לכפות על הנקודה להיות נקודת מינימום). :: אם האילוץ הוא מהצורה <math>\ g(x)\geq 0</math> יש לבדוק בנפרד את התחום הפתוח <math>\ g(x)>0</math> ואת התחום הסגור <math>\ g(x)=0</math>. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 20:23, 16 בינואר 2011 (IST) ::תודה רבה. אז בעצם, בקצרה, כדי לבדוק אם הנקודה שהתקבלה היא מינימום חזק/מקסימום חזק, צריך לחשב את מטריצת הHesse של F (ולא L)? ==שאלה==נתונה הפונקציה f(x,y) = Ax^2 + 2Bxy + cy^2, וצריך למצוא נק' קיצון מקומיות תחת האילוץ x^2+y^2=1. לא ממש הצלחתי לפתור את התרגיל בעזרת לגרנז'. עזרה, מישהו? == מבחן אצל אגרנובוסקי == מישהו יכול לפרט מה בדיוק צריך בהוכחה 2,4ויהיה ממש נחמד אם מישהו יעלה את ההוכחות עצמן ==שאלה ממבחן וסתם שאלה==האם באמת קיימת פונקציה דיפרנציאבילית מR2 לR2 כך שהיעקוביאן שלה לא מתאפס והיא איננה חח"ע? והאם מישהו יכול להסביר מה המשמעות של התאפסות היעקוביאן בנקודה מסוימת? איך זהמשפיע על התנהגות הפונקציה בנקודה? לקבוצה של אגרנובסקי הנחמד, ואני נצטרך לדעת איך הופכים כל משטחים לצורה קנונית? ולדעת את השמות שלהם?:(לא ארז) אם הבנתי נכון, לפי משפט הפונקציה ההפוכה שלמדנו (בהרצאה ובתרגול), אם פונקציה היא דיפרנציאבילית (ממחלקה C1) והדטטרמיננטה של מטריצת היעקובי שלה לא מתאפסת, הפונקציה היא דיפאומורפיזם בסביבת הנקודה, ודיפאומורפיזם גורר חח"ע (ועל).:כלומר, אם התנאים שהעלת מתקיימים, הפונקציה בהכרח חח"ע (והפיכה). המשמעות של התאפסות היעקוביאן, בנקודה מסויימת, עבור פונקציה דיפרנציאבילית, היא שה'נגזרת' של הפונקציה בנקודה היא 0, וזהו תנאי הכרחי לנקודת קיצון, כלומר הנקודה היא או מקסימום או מינימום או איזהשהו סוג של אוכף.::תודה על התשובה אבל א. דיפ' זה לא C1, נגזרות חלקיות רציפות זה C1 (חזק יותר מדיפ'). ב. המשפט מבטיח הפיכות מקומית, לא גלובלית -- אז גם אם המשפט היה עובד בנסיבות האלה עדיין הפונקציה לאו דווקא חח"ע באופן כללי. ג. התכוונתי ליעקוביאן כדטרמיננטה (כמו בשאלה הראשונה) לכן הנגזרות לאו דווקא מתאפסות, העמודות יכולות להיות פשוט תלויות לינארית.:::א. נכון, אבל יכול להיות שזה לא משפיע. ב. אם יש הפיכות מקומית בכל נקודה (בכל R2, במקרה הזה) אז בכל סביבה (שנרצה) הפו' חח"ע, אז היא גם חח"ע גלובלית. ג. צודק.::::א. יכול להיות, אבל זה מה שהמשפט דורש. ב. אני חושב שחייבים בתרגיל אלא שזה יותר מורכב מזה. אם מבקשים מפורשותתמיד הסביבה המובטחת לנו מהמשפט בתמונה היא אחת קבועה למשל, אין לנו באמת הפיכות גלובלית, רק הפיכות בין הסביבה הקבועה לכל סביבה אחרת.:::::א. נכון, זה באמת בעייה. ב. אם, אבל, תנאי המשפט כן מתקיימים בכל R2, אז לכל נקודה, קיימת סביבה של הנקודה שבא הפונקציה הפוכה, ולכן כן יש הפיכות בכל R2. אם בשלילה הייתה נקודה שבא הפונקציה לא הפיכה, ניקח את הנקודה הזאת, והיא מקיימת את תנאי המשפט (אם באמת הם מתקיימים בכל R2), ואז קיימת סביבה שבה הפונקציה הפיכה, כלומר הפונקציה הפיכה בכל R2 ואין שום נקודה שבה זה יכול להתהפך משום מה.לקבוצה של אגרנובסקי הנחמד, נצטרך לדעת איך הופכים כל משטחים לצורה קנונית? ולדעת את השמות שלהם? הוא אמר שאת השמות צריך לדעת ולגבי הפיכה וצורה קנונית, לא עשינו את זה בהרצאות == הוכחות למבחן == מישהו יכול להעלות את המשפטים שצריך לדעת להוכיח במבחן (הקבוצה של פרופסור אגרנובוסקי) ואת ההוכחות שלהם בבקשה? == תרגיל 8 == מה עם פתרונות לתרגיל 8??:יועלו עוד מעט. == שתי שאלות ==ראיתי שאלה במבחן של אגרנובסקי:שמבקשת לפתור את האינטגרל הבא לפי משפט גרין:(x^2+2y)dx +(4x-3y^2)dy)והתחום הוא האליפסה:x^2/a^2 + y^2/b^2 =1*הצבתי בנוסחא של משפט גרין אבל אני לא בטוח לגמרי מבין מה הטווח של האינטגרלים.אשמח לעזרה כאן. והדבר השני, לא הבנתי למה אתה מתכווןבפיתרון של שאלה 5 בתרגיל 8, זו את התחומים של הזווית והרדיוס.אשמח אם מישהו יסביר לי, תודה== שאלה כללית או ==דבר ראשון, לקבוצה של אגרונובסקי, ראיתי הרבה שאלות במבחנים שלו "זהה את הגרף הבא ושרטט אותו (בערך)"אנחנו אמורים לדעת לפתור שאלות כאלה? דבר שני, ראיתי שאלה למצוא את המקסימום של קו ישר כלשהו על מעגל היחידה. מצאתי את נקודות הקיצון, אך אני לא יודע איך אני יכול לקבוע את סוגן, מכיוון שמטריצת ההסה של קו ישר היא 0, (כי לקו עצמו אין נקודות קיצון)...מה עליי לעשות? ברור כי אחת מהן היא מקס' והשני מינ', אבל איך אני יכול להסביר את זה?:(לא ארז)תמצא את הערך שלהן f(a), f(b) qq תראה מי הקטנה ומי הגדולה (תציב נקודות בסביבה ותראה שהן קטנות/גדולות מהערך בנקודה ההיא) ואז תקבע אם זה מקסימום /מינימום. (הוא אמר שזו הפרקטיקה בתרגילים מהסוג הזה) == הוכחות (אגרנובוסקי) == יש מצב מישהו מעלה את ההוכחות למשפטים שצריך לדעת להוכיח למבחן,זה ממש יעזור, תודה. == תרגיל 8 == לקבוצה של אגרונובסקי, כל תרגיל 8 כלול בחומר למבחן, ואם לא אז איזה שאלות כן? == תשובה ל2 שאלות == x=arcos טטהy=brsin טטהאר בין 0 ל1טטה בין 0 ל2 פאי == ציוני תרגיל == מתי יפורסמו ציוני התרגילים?== פתרון למבחן ==ארז מתי יעלו פתרון למבחן?כן אם אפשר בבקשה של שתי הקבוצות זה ממש חשובב ==שאלה==מה עם ציוני התרגיל??? :עוד לא התקבלו כולם. או שנפרסם מחר רשימה חלקית, או שנחכה לציונים המלאים.--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 18:02, 30 בינואר 2011 (IST) == תרגילי בית == מה הייתה חובת ההגשה בתרגילי בית בקורס? == פיתרון למבחן == מתי יעלה פיתרון למבחן?
משתמש אלמוני