שינויים
[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות|חזרה לדוגמאות]]
*יהיו <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n,\sum_{n=1}^\infty b_n</math> טורים חיוביים כך ש- <math>\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\le\dfrac{b_{n+1}}{b_n}</math> .
הוכיחו כי אם <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n</math> מתכנס אזי גם <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתכנס
;הוכחה.
אנו רואים מהנתון שקצב הגדילה של הטור <math>b_n</math> גדול מזה של <math>a_n</math> , ואנו יודעים שכפל על-ידי קבוע שונה מ-0 אינו משנה את התכנסות הטור. לכן נכפול בקבוע כך שהטורים יתחילו שניהם באבר ששוה ל-1, ונקבל שהטור <math>b_n</math> גדול מהטור <math>a_n</math> :
צריך להוכיח כי
אבל קל להוכיח באינדוקציה כי
אכן,
:<math>\dfrac{b_{n+1}}{b_1}=\dfrac{b_{n+1}}{b_n}\cdot\dfrac{b_n}{b_1}\ge\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\cdot\dfrac{a_n}{a_1}=\dfrac{a_{n+1}}{a_1}</math>
ולכן לפי '''מבחן ההשוואה הראשון''' אנו מקבלים את המשלשרצינו.