שינויים
/* פתרון */
=המשך קבוצות=
==תרגילמשלים ==הוכיחו כי <math>A\cap (B\setminus C)=(A\cap B) \setminus (A\cap C)</math>.
תכונות בסיסיות:* <math>xA\in cup A^c = U</math>* <math>\cap (B\setminus C) \iffvarnothing^c = U</math>* <math>(x\in A) \and [(x\in B) \and (x\notin C)] U^c = \iffvarnothing</math>* <math>[(x\in A^c) \and (x\in B) \and (x\notin C)] \or [(x\in ^c = A) \and (x\in B) \and (x\notin A)] </math>
<math>x\in A \land triangle B \iff (x\in B A \land x\notnotin B)\lor (x\in C B \land x\notin A) \Leftarrowiff</math>
<math>(x\in notin A^c \cap land x\in B ^c)\land lor (x\notnotin B^c \land x\in A\cap C \Leftarrow^c)</math>ומחילופיות "וגם" ו"או":
<math>(x\notin B^c \land x\in A^c)\lor (x\notin A^c \cap land x\in B^c) \backslash iff</math><math>(x\in A^c \cap Cland x\notin B^c)\lor (x\in B^c \land x\notin A^c) \iff x\in A^c \triangle B^c</math>
א. מצאו את <math>x\in A\cap B \land x\notbigcup_{n\in A\cap C \Leftarrowmathbb{N}} B_n</math>.
ב. נגדיר <math>xD_n=\in A mathbb{N}\land x\in B \land xsmallsetminus B_n</math>. מצאו את <math>\notbigcap_{n\in C \Leftarrow mathbb{N}} D_n</math>.
א. התשובה: <math>x\in Amathbb{N}\cap(Bsmallsetminus \backslash C){1\Leftarrow }</math>. הוכחה:
==קבוצת החזקה==
'''הגדרה''': תהי קבוצה <math>A</math>. נגדיר את '''קבוצת החזקה''' של <math>A</math> בתור אוסף כל תת הקבוצות של <math>A</math>. נסמן <math>P(A)=\{X:X\subseteq A\}</math>.
האם אתם יכולים למנות כמה איברים יש בקבוצת החזקה? הוכיחו זאת באינדוקציה.
===תרגיל===
הוכיחו או הפריכו: <math>A\cap P(P(A))=\varnothing</math>.
====פתרון====
הפרכה : ניקח <math>A=\{1,\{\{1\}\}\}</math>.
===תרגיל===
הוכיחו או הפריכו:
א. <math>P(A)\cap P(B)=P(A\cap B)</math>
ב. <math>P(A)\cup P(B)=P(A\cup B)</math>
====פתרון====
א. הוכחה: <math>X\in P(A)\cap P(B) \iff X\subseteq A\land X\subseteq B\iff</math>
<math>X\subseteq A\cap B\iff X\in P(A\cap B)</math>
ב. הפרכה: ניקח <math>A=\{1\},B=\{2\}</math>. אז <math>\{1,2\} \in P(A\cup B)</math>, אבל לא ל-<math>P(A)\cup P(B)</math>.
למעשה הוכיחו כי <math>P(A)\cup P(B)=P(A\cup B)</math> אם ורק אם <math>A\subseteq B</math> או <math>B\subseteq A</math>.
===תרגיל ממבחן===
ג. אם <math>A\cap B=\varnothing</math> אזי <math>P(A)\cap P(B) = \{\varnothing\}</math>
===פתרון===
א. '''הפרכה''': <math>A=\{1,2\},B=\{1\},C=\{2\}</math>. אזי ברור ש-<math>A</math> איננה מוכלת בחיתוך <math>B\cap C</math> אבל <math>(A\setminus B)\cap(A\setminus C)=\{2\}\cap\{1\}=\varnothing</math>.
ב. נתון שלכל <math>a\in A</math> מתקיים <math>a \in B</math>. אזי
<math>x\in [A\cup(B/\setminus A)] \iff (x\in A) \or [(x\in B)\and (x\notin A)] \iff [(x\in A) \or (x\in B)] \and [(x \in A)\or (x\notin A)] </math>
דרך נוספת: נגדיר את <math>B</math> להיות הקבוצה האוניברסאלית <math>U:=B</math> ואז צריך להוכיח כי
<math>A\cup A^c =U</math> וזה אכן נכון!
ג. נניח בשלילה ש-<math>P(A)\cap P(B)\neq \{\varnothing\}</math>. מכיוון שהקבוצה הריקה שייכת לכל קבוצת חזקה , החיתוך אינו ריק. לכן לפי הנחת השלילה קיימת קבוצה לא ריקה <math>C \varnothing ne\not=Cvarnothing</math> השייכת לחיתוך <math>P(A)\cap P(B)</math>. קבוצות החזקה הן אוסף תת הקבוצות, ולכן <math>C\subseteq A \and C\subseteq B</math>. מכיוון שC ש-<math>C</math> אינה ריקה קיים בה איבר <math>\exists c\in C</math> וקל מאד לראות ש-<math>(c\in A)\and (c\in B) </math> ולכן <math>c </math> מוכל בחיתוך , בסתירה לכך שהחיתוך ריק.