שינויים
הייתה טעות בדוגמה של CNF בC_2. התייחסות ל1 כמו שהוא ו0 כשלילה, כשזה צריך להיות הפוך.
[[מתמטיקה בדידה - מערך תרגול|חזרה למערכי התרגול]]
סיכום הנושא המלא נמצא בדף [[88-101 חשיבה מתמטית]].
אזהרה: דף זה נועד להכיר ללומד המתחיל את החשיבה הלוגיקית הקשיחה. כיוון שמדובר בלומד המתחיל ואיננו רוצים להבריח אותו, הדוגמאות וההסברים לעיתים "מעגלים פינות" (מבחינת דיוק קשיח ופורמלי) לטובת הסבר ברור ומסביר פנים. ==פסוקים וקַשָּרִים, פרדיקטים וכַּמָּתִים, הצרנה וטבלאות אמת==
=== אטומים, פסוקים וקשרים===
הערה: קשר נוסף שהינו נפוץ בתחום המתמטקיה והוא גרירה דו-כיוונית (ידוע בכינויו אם ורק אם, אמ"מ).
הגדרתו פשוטה (נובעת משמו..) והיא מוגדרת ע"י קשר הגרירה החד כיווני.
<math>A\leftrightarrowif leftrightarrow B</math> שטבלת האמת שלו זהה לטבלת האמת של <math>(A\Rightarrow to B)\and(B\Rightarrow to A)</math>
דוגמאות מילוליות:
==== הצרנה ====
הגדרה: נאמר שביטוי <math>A</math> שקול טאוטולוגית לביטוי <math>B</math> (ונסמן <math>A \equiv B</math>)
אם הביטוי <math>A \iff leftrightarrow B</math> הינו טאוטולוגיה (במילים: A קורה אמ"מ B קורה)
====תרגיל: ====הוכח באמצעות טבלאות אמת שניתן להציג את הקשרים 'גרירה' ו'וגם' באמצעות 'או' ושלילה בלבד
פתרון:
ומתקיים <math>A \and B \equiv \neg(\neg A \or \neg B)</math>
* <math>\ (A \leftrightarrow B) \equiv (A \rightarrow B) \wedge (B \rightarrow A)</math>.
====תרגיל====האם המשפטים הבאים שקולים: א. אם אייל שמח אז ענת גבוהה, ואם ענת לא גבוהה אז אייל לא שמח. ב. אייל שמח אם ורק אם ענת גבוהה. פיתרון: לא. בא' יש פעמיים את אותו דבר, בגלל השקילות <math>p\to q\equiv \lnot q\to \lnot p</math>. עבור: אייל לא שמח וענת גבוהה, נקבל בא' אמת ובב' שקר. ===טענת גרירה==="טענות גרירה" הם טענות נפוצות במתמטיקה. טענות אלו פשוט טוענות שמתקיים כי: אם (משהו) אז (משהו). בשביל לרמוז על נכונות הטענה מסמנים <math>A\Rightarrow B</math> להדגיש כי הפסוק <math>A\rightarrow B</math> הינו אמת. במידה ולא מגלים לכם אם טענה הגרירה נכונה או לא (או שאתם לא מאמינים למרצה) אזי עומדות בפניכם שתי אופציות: 1. אם הטענה נכונה אזי כדאי להוכיח אותה ע"י כך שתראו שאם A נכון אז גם B נכון. או בצורה פרקטית יותר: נניח שA נכון ונוכיח שגם B נכון. 2. אם הטענה אינה נכונה אזי כדאי למצוא דוגמא שתפריך אותה. דוגמא מפריכה היא דוגמא עבורה A נכון וB לא נכון. ====תרגיל====האם משני הנתונים: א. אם אני מנגן בחצוצרה אז אני לא מנגן בתופים ובפסנתר יחד. ב. אם אני לא מנגן בחצוצרה אז אני לא מנגן בפסנתר. ניתן להסיק: אני לא מנגן בפסנתר אז אני מנגן בתופים. פתרון: לא, זה תלוי מי זה "אני": במידה ו"אני" לא מנגן על אף כלי (מתאים לשורה F,F,F בטבלת האמת שאטומיה הן: "מנגן בחצוצרה", "מנגן בתופים", "מנגן בפנתר") נקבל כי הנתונים (א+ב) מקבלים ערך <math>T</math> והמסקנה <math>F</math>. ולכן הפסוק "(מסקנה)<math>\to</math>(נתונים)" אינו נכון. ====תרגיל====האם משני הנתונים: א. אם אני מנגן בחצוצרה אז אני לא מנגן בתופים ובפסנתר יחד. ב. אם אני לא מנגן בחצוצרה אז אני לא מנגן בפסנתר. ניתן להסיק: אם אני מנגן בפסנתר אני לא מנגן בתופים. פתרון: נכון, זה לא תלוי במי זה "אני" (במילים אחרות הפסוק "(מסקנה)<math>\to</math>(נתונים)" הוא טאוטולוגיה ולא מושפע מערכי האמת של האטומים שלו). בהינתן א+ב אנו רוצים להוכיח את המסקנה, שהיא בעצמה טענת גרירה. לכן: נניח שמנגן בפסנתר, לכן לפי ב מנגן בחצוצרה. ואז לפי א יוצא שלא מנגן בתופים או לא מנגן בפסנתר (דה-מורגן). כיון שנתון שמנגן בפסנתר מתחייב שלא בתופים. ===הכרחי ומספיק ===הערה (טרמינולוגיה): *כאשר אומרים ש B הוא תנאי הכרחי ל A פירושו הוא שהפסוק <math>A \to B</math> נכון. לעיתים, לצורך הדגשה מסמנים <math>A \Rightarrow B</math>*כאשר אומרים ש B הוא תנאי מספיק ל A פירושו הוא שהפסוק <math>B \to A</math> נכון. לעיתים, לצורך הדגשה מסמנים <math>B \Rightarrow A</math>*כאשר אומרים ש B הוא תנאי הכרחי ומספיק ל A פירושו הוא שהפסוק <math>B \rightarrow A</math> נכון. לעיתים, לצורך הדגשה מסמנים <math>A \iff B</math>====תרגיל====השלם את המשפט הבא: כדי שירד גשם _____ שיהיו עננים בשמים. לכן אם נסמן ע"י "יש עננים בשמים = A", "יורד גשם = B" נקבל "A____B". פיתרון: הכרחי, <math>\Leftarrow </math> ====תרגיל====השלם את המשפט הבא: כניסת המורה לכיתה הוא תנאי _____ שיהיה שקט בכיתה. לכן אם נסמן ע"י "כניסת המורה= A", "שקט בכיתה = B" נקבל "A____B". פיתרון: מספיק, <math>\Rightarrow </math> ===תרגיל===(a) כדי שלזכות בלוטו _____ למלא כרטיס לוטו. (b) כדי שהיה שקט בכיתה _____ ללחוץ mute all (c) לקבל ציון עם 3ספרות בקורס _____ לקבל 100 בקורס.
==דרכי הוכחה==
כאשר רוצים להוכיח טענה, לפעמים יותר נח להוכיח ניסוח שקול (לוגית) אליה. דוגמאות נפוצות מוצגים בטענה הבאה:
דוגמאות מילוליות:
* בשביל להוכיח את הטענה ש "הגובה שלי נמוך מ- 3 מטר" אפשר להוכיח באופן שקול כי הגובה שלי לפחות 3 מטר ולהגיע לסתירה. למשל הטיעון הבא: "אם הגובה שלי לפחות 3 מטר, אז הראש שלי היה נוגע בתקרה. כיוון שהוא לא נוגע בתקרה, זו סתירה ולכן איני בגובה 3 מטר"
כיוון שאטומים הם ללא משתנים הם יכולים להיות T או F אבל לא שניהם. לעומתם פרדיקטים הם תלויים במשתנים ולכן ערך האמת שלהם יקבע לפי ההצבה במשתנים. למשל הפרדיקט <math>S(x,y)=</math>שמביע כי <math>x<y</math> יהיה נכון במקרה ש <math>S(2,3)</math> ולא נכון במקרה ש <math>S(3,2)</math>. כלומר לכל הצבה במשתני הפרדיקטים נקבל פסוק. הערה: משמשים בקשרים גם בפרדיקטים למשל <math>S(x,y)</math> הפרדיקט המוגדר <math>(x>0 ) \land (x<y)</math>
בנוסף, ניתן להוסיף כמתים.
פתרון:
ההצרנה <math>\forall p >1 : (P(p)\iff Q(p))</math> כאשר
* <math>P(x)</math> הוא הפרדיקט המביע כי"x" הוא ראשוני".* <math>Q(x)</math> הוא הפרדיקט המביע <math>\forall a,b : p|ab \Rightarrow (p|a \lor p|b)</math>
הערה: אחרי שמכמתים על כל משתני הפרדיקט מקבלים פסוק ללא משתנים.
נשים לב כי בשביל לקבוע אם הפסוק <math>\forall x P(x)</math> אנחנו צריכים לדעת איזה x ים "חוקיים" (בהנחה שאנחנו יודעים את P) ומכאן שנעבור להגדרות הבאות.
===הגדרות הקשורות לקבוצותתרגיל===ההגדרה האינטואיטיבית לקבוצה הינה "אוסף של איברים".בקבוצה אין משמעות לסדר האיברים, ואיבר אינו יכול להופיע פעמיים. דוגמאות ל3 קבוצות (קבוצות נוהגים לסמן בין 2 סוגריים מסולסלות): הצרינו את הפסוקים
פתרון: <math>\forall c [c\in C \rightarrow אם המשתנים מגיעים מהשלמים הפסוק שקרי (c\in A \and c \in Bשהרי לא קיים z עבור x=1,y=2)]</math>. אם המשתנים מגיעים מהרציונאלים הפסוק אמת (תכונה זאת נקראת צפיפות הרציונאלים). מסקנה: צריך לדעת מאיפה מגיעים משתני הפרדיקט.
שזה בעצם מהצורה (לכל כלב) * <math>\ (p \rightarrow q) \iff ((\neg q) \rightarrow (\neg p))</math>.
==שלילת פסוקים==
לדוגמא:
*"לכל אדם בעולם קיים דג עם מספר קשקשים כגיל האדם או שאורכו עשירית מאורך האדם"
השלילה היא:
*"'''קיים''' אדם כך ש'''לא''' קיים דג עם מספר קשקשים כגיל האדם או שאורכו עשירית מאורך האדם"
נמשיך:
*"קיים אדם ש'''לכל''' דג בעולם '''לא נכון''' ש(יש לו מספר קשקשים כגיל האדם או שאורכו עשירית מאורך האדם)"
כלומר
*"קיים אדם שלכל דג בעולם יש מספר קשקשים שונה מגיל האדם וגם אורכו של הדג שונה מעשירית אורך האדם"
הערה: סדר הכמתים הוא חשוב (כמו בעברית) - לדוגמא: יש הבדל בין "לכל סיר קיים מכסה" לבין "קיים מכסה שמתאים לכל סיר".דוגמא: הצרן את המשפט "לכל מספר טבעי יש מספר טבעי הגדול ממנו" פתרון: <math>\forall n\in\mathbb{N}\,\exists m\in\mathbb{N}:n<m</math> לעומת זאת <math>\exists m\in\mathbb{N}\,\forall n\in\mathbb{N}:n<m</math> פירושו שקיים מספר טבעי שגדול מכל המספרים הטבעיים.
פתרון: <math>\forall x\in\mathbb{R}\,\exists A\subset\mathbb{Q}:\forall\epsilon\in\mathbb{R}_{+}\exists q\in A\,:|x-q|<\epsilon</math> .
דוגמאות של הצרנת ושלילת המושגים 'תלות לינארית', 'גבול סדרה', 'חח"ע', וכדומה
==צורות נורמליות: CNF ,DNF(אם רלוונטי לקורס שאתם לוקחים. אם לא שמעתם על הדברים האלה - תדלגו)==
ישנן שתי "צורות נורמליות" להצגת '''כל''' פסוקית - DNF ו CNF.
באופן דומה נייצר <math>C_2,C_3,C_4,C_5</math> עבור שורות 2 , 5, 7 ו-8:
<math>C_2= \lnot x_1 \lor \lnot x_2 \lor \lnot x_3, C_3=\lnot x_1\lor \lnot x_2 \lor x_3</math>
<math> C_4=x_1 \lor \lnot x_2 \lor \lnot x_3, C_5= \lnot x_1 \lor \lnot x_2 \lor \lnot x_3</math>