הבדלים בין גרסאות בדף "פונקציה רציפה במידה שווה"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
מ
שורה 1: שורה 1:
פונקציה ממשית היא '''רציפה במידה שווה''' בקטע I אם לכל <math>\epsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>x,y</math> בקטע, אם <math>|x-y|<\delta</math> אז <math>\Big|f(x)-f(y)\Big|<\epsilon</math>. תכונה זו גוררת [[פונקציה רציפה|רציפות]] של הפונקציה בכל נקודה, ובדרך כלל היא חזקה יותר.
+
פונקציה ממשית היא '''רציפה במידה שווה''' בקטע <math>I</math> אם לכל <math>\epsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>x,y\in I</math> אם <math>|x-y|<\delta</math> אז <math>\Big|f(x)-f(y)\Big|<\epsilon</math> . תכונה זו גוררת [[פונקציה רציפה|רציפות]] של הפונקציה בכל נקודה, ובדרך-כלל היא חזקה יותר.
 
+
  
 
==משפט==
 
==משפט==
שורה 7: שורה 6:
 
===הוכחה===
 
===הוכחה===
 
תהי <math>f</math> בעלת נגזרת חסומה בקטע <math>A</math> . נניח בשלילה שהיא אינה רציפה במ"ש לכן קיימות שתי סדרות <math>x_n,y_n</math> בקטע המקיימות
 
תהי <math>f</math> בעלת נגזרת חסומה בקטע <math>A</math> . נניח בשלילה שהיא אינה רציפה במ"ש לכן קיימות שתי סדרות <math>x_n,y_n</math> בקטע המקיימות
 
 
:<math>|x_n-y_n|\to 0</math>
 
:<math>|x_n-y_n|\to 0</math>
 
 
:<math>\Big|f(x_n)-f(y_n)\Big|\not\to 0</math>
 
:<math>\Big|f(x_n)-f(y_n)\Big|\not\to 0</math>
 
 
 
לכן קיימת תת-סדרה כך ש-
 
לכן קיימת תת-סדרה כך ש-
 
 
:<math>\Big|f(x_{n_k)}-f(y_{n_k})\Big|\to a\ne 0</math>  
 
:<math>\Big|f(x_{n_k)}-f(y_{n_k})\Big|\to a\ne 0</math>  
 
 
(זוהי תת-הסדרה המתכנסת לגבול העליון. אם הגבול העליון היה שווה <math>0</math> סדרת הערכים המוחלטים הייתה מתכנסת).
 
(זוהי תת-הסדרה המתכנסת לגבול העליון. אם הגבול העליון היה שווה <math>0</math> סדרת הערכים המוחלטים הייתה מתכנסת).
  
 
נובע מכאן כי הסדרה
 
נובע מכאן כי הסדרה
 
 
:<math>\frac{f(x_{n_k})-f(y_{n_k})}{x_{n_k}-y_{n_k}}</math>
 
:<math>\frac{f(x_{n_k})-f(y_{n_k})}{x_{n_k}-y_{n_k}}</math>
 
 
אינה חסומה.
 
אינה חסומה.
  
 
אבל לפי משפט לגראנז', קיימות נקודות <math>c_{n_k}</math> בין <math>x_{n_k},y_{n_k}</math> כך ש-
 
אבל לפי משפט לגראנז', קיימות נקודות <math>c_{n_k}</math> בין <math>x_{n_k},y_{n_k}</math> כך ש-
 
 
:<math>f'(c_{n_k})=\frac{f(x_{n_k})-f(y_{n_k})}{x_{n_k}-y_{n_k}}</math>
 
:<math>f'(c_{n_k})=\frac{f(x_{n_k})-f(y_{n_k})}{x_{n_k}-y_{n_k}}</math>
 
 
ולכן הנגזרת אינה חסומה, בסתירה.
 
ולכן הנגזרת אינה חסומה, בסתירה.
  
 
[[קטגוריה:אינפי]]
 
[[קטגוריה:אינפי]]

גרסה מ־19:51, 20 בספטמבר 2016

פונקציה ממשית היא רציפה במידה שווה בקטע I אם לכל \epsilon>0 קיים \delta>0 כך שלכל x,y\in I אם |x-y|<\delta אז \Big|f(x)-f(y)\Big|<\epsilon . תכונה זו גוררת רציפות של הפונקציה בכל נקודה, ובדרך-כלל היא חזקה יותר.

משפט

פונקציה בעלת נגזרת חסומה בקטע, רציפה במ"ש באותו קטע

הוכחה

תהי f בעלת נגזרת חסומה בקטע A . נניח בשלילה שהיא אינה רציפה במ"ש לכן קיימות שתי סדרות x_n,y_n בקטע המקיימות

|x_n-y_n|\to 0
\Big|f(x_n)-f(y_n)\Big|\not\to 0

לכן קיימת תת-סדרה כך ש-

\Big|f(x_{n_k)}-f(y_{n_k})\Big|\to a\ne 0

(זוהי תת-הסדרה המתכנסת לגבול העליון. אם הגבול העליון היה שווה 0 סדרת הערכים המוחלטים הייתה מתכנסת).

נובע מכאן כי הסדרה

\frac{f(x_{n_k})-f(y_{n_k})}{x_{n_k}-y_{n_k}}

אינה חסומה.

אבל לפי משפט לגראנז', קיימות נקודות c_{n_k} בין x_{n_k},y_{n_k} כך ש-

f'(c_{n_k})=\frac{f(x_{n_k})-f(y_{n_k})}{x_{n_k}-y_{n_k}}

ולכן הנגזרת אינה חסומה, בסתירה.