פונקציה רציפה במידה שווה

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

פונקציה ממשית היא רציפה במידה שווה בקטע I אם לכל \epsilon>0 קיים \delta>0 כך שלכל x,y בקטע, אם |x-y|<\delta אז \Big|f(x)-f(y)\Big|<\epsilon. תכונה זו גוררת רציפות של הפונקציה בכל נקודה, ובדרך כלל היא חזקה יותר.


משפט

פונקציה בעלת נגזרת חסומה בקטע, רציפה במ"ש באותו קטע

הוכחה

תהי f בעלת נגזרת חסומה בקטע A . נניח בשלילה שהיא אינה רציפה במ"ש לכן קיימות שתי סדרות x_n,y_n בקטע המקיימות

|x_n-y_n|\to 0
\Big|f(x_n)-f(y_n)\Big|\not\to 0


לכן קיימת תת-סדרה כך ש-

\Big|f(x_{n_k)}-f(y_{n_k})\Big|\to a\ne 0

(זוהי תת-הסדרה המתכנסת לגבול העליון. אם הגבול העליון היה שווה 0 סדרת הערכים המוחלטים הייתה מתכנסת).

נובע מכאן כי הסדרה

\frac{f(x_{n_k})-f(y_{n_k})}{x_{n_k}-y_{n_k}}

אינה חסומה.

אבל לפי משפט לגראנז', קיימות נקודות c_{n_k} בין x_{n_k},y_{n_k} כך ש-

f'(c_{n_k})=\frac{f(x_{n_k})-f(y_{n_k})}{x_{n_k}-y_{n_k}}

ולכן הנגזרת אינה חסומה, בסתירה.