שדה

מתוך Math-Wiki
גרסה מ־21:48, 27 בפברואר 2012 מאת ארז שיינר (שיחה | תרומות) (יצירת דף עם התוכן "קטגוריה:אלגברה לינארית קבוצה <math>\mathbb{F}</math> עם זוג פעולות בינאריות הנקראות כפל וחיבור <mat...")

(הבדל) → הגרסה הקודמת | הגרסה האחרונה (הבדל) | הגרסה הבאה ← (הבדל)
קפיצה אל: ניווט, חיפוש


קבוצה \mathbb{F} עם זוג פעולות בינאריות הנקראות כפל וחיבור (\mathbb{F},\cdot,+) נקראת שדה אם מתקיימות התכונות הבאות:

  1. סגירות- \forall a,b\in\mathbb{F}:a+b\in\mathbb{F},a\cdot b\in\mathbb{F}. (שימו לב שזה בסך הכל אומר שתוצאת הפעולות הבינאריות נשארת בשדה)
  2. קומוטטיביות/חילופיות- \forall a,b\in\mathbb{F}:a+b=b+a,a\cdot b = b\cdot a
  3. אסוציאטיביות- \forall a,b,c\in\mathbb{F}:(a+b)+c=a+(b+c),(a\cdot b)\cdot c = a\cdot(b\cdot c)
  4. קיום איברים נייטרליים- קיימים איברים שנסמנם 1,0 המקיימים \forall a\in\mathbb{F}:1\cdot a = a \cdot 1 = a, a+0=0+a=a. בנוסף מתקיים ש0\neq 1
  5. קיום איבר נגדי לחיבור- לכל איבר a קיים איבר שנסמנו (-a) כך שמתקיים a+(-a)=0. לצורך קיצור הכתיבה נסמן a+(-a)=a-a (פעולת החיסור היא פשוט חיבור לנגדי)
  6. קיום איבר הופכי לכפל- לכל איבר a\neq 0 קיים איבר שנסמנו a^{-1} כך שמתקיים a\cdot a^{-1} = 1. שיטה נפוצה לסימון פעולה זו הינה a\cdot b^{-1}=\frac{a}{b}
  7. דיסטריביוטיביות/פילוג- \forall a,b,c\in\mathbb{F}: a\cdot (b+c)=a\cdot b +a\cdot c . שימו לב שזו התכונה היחידה המקשרת בין הכפל לבין החיבור