מבחן אינפי 1 סמסטר א' מועד ב' תשע"ב

מתוך Math-Wiki
גרסה מ־08:11, 20 באפריל 2012 מאת לב זלוטניק (שיחה | תרומות) (פתרון)

(הבדל) → הגרסה הקודמת | הגרסה האחרונה (הבדל) | הגרסה הבאה ← (הבדל)
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

שאלה 1

צטטו והוכיחו את משפט לייבניץ על התכנסות טורים בעלי סימנים מתחלפים. אין צורך לצטט ולהוכיח את הטענה לגבי השארית.

שאלה 2

קבעו אם כל גבול קיים, ואם כן חשבו אותו.

א. \lim_{x \to 0^{+}}{( 1+3x+2x^2 )}^{\frac{1}{x}}

ב.\lim_{n \to \infty} n^{sin \frac{n \pi}{2}}

פתרון

א.

\lim_{x \to 0^{+}}{( 1+3x+2x^2 )}^{\frac{1}{x}}=\lim_{x \to 0^{+}}{( 1+3x+2x^2 )}^{\frac{1}{x}\frac{3x+2x^2}{3x+2x^2}}=\lim_{x \to 0^{+}}{( 1+3x+2x^2 )}^{\frac{1}{3x+2x^2}(3+2x)}=e^3

הערה: ניתן לפתור גם באמצעות לופיטל.

ב.

אין גבול, קל לראות שהחזקות חוזרות באופן מחזורי על 0,1 ומינוס 1, ולכן 0, אינסוף ואחד הם גבולות חלקיים שונים של הסדרה.

שאלה 3

קבעו אם כל טור מתכנס או מתבדר:

א. \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt[3]{ln n}}

ב.\sum_{n=1}^{\infty}( \sqrt{n} - \sqrt{n-1})^{\frac{3n+2}{n+6}}


פתרון

א.

נפעיל את מבחן העיבוי לקבל שהטור חבר של

\sum 2^n\frac{1}{2^n\sqrt[3]{ln(2^n)}}=\sum \frac{1}{\sqrt[3]{n}\sqrt[3]{ln(2)}}

וזה כמובן טור מתבדר כיוון ששליש קטן מאחד.

ב.

\sum( \sqrt{n} - \sqrt{n-1})^{\frac{3n+2}{n+6}}=\sum \Big(\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}\Big)^{3-\frac{16}{n+6}}

וזה קטן או שווה לטור המתכנס:

\sum \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}

שאלה 4

א.

הוכיחו שאם f(x) מוגדרת ורציפה בכל \mathbb{R}, אז עבור כל x \in \mathbb{R} מתקיים \lim_{h \to 0} [f(x+h)-f(x-h)]=0.


ב.

הוכיחו שההיפך של סעיף א' אינו נכון. ז.א. יתכן שלכל x \in \mathbb{R} מתקיים \lim_{h \to 0} [f(x+h)-f(x-h)]=0 ובכל זאת f(x) אינה רציפה בכל x \in \mathbb{R}.


פתרון

א.

לפי רציפות, ולפי הגדרת היינה לגבול, לכל סדרה x_n\rightarrow x מתקיים f(x_n)\rightarrow f(x).

לכן, לכל סדרה h_n\rightarrow 0 מתקיים x+h_n\rightarrow x ולכן f(x+h_n)\rightarrow f(x). באופן דומה מקבלים f(x-h_n)\rightarrow f(x) וקיבלנו את הדרוש.

ב.

ניקח פונקציה קבועה למעט אי רציפות סליקה אחת. כיוון שהגבול קיים וסופי בכל נקודה, ההוכחה לעיל תקיפה פרט לשימוש בגבול במקום בערך בנקודה.

שאלה 5

הוכיחו שקיימים \infty מספרים x \in \mathbb{R} כך ש-tan x= x.

פתרון

בכל קטע מהצורה (\frac{\pi}{2}+\pi k,\frac{\pi}{2}+\pi (k+1)) הפונקציה tan שואפת לאינסוף בקצה הימני של הקטע, ולמינוס אינסוף בקצה השמאלי.

הפונקציה x חסומה בכל קטע מהצורה הזו, ולכן קל להראות שהפונקציה h(x)=tan(x)-x מקבלת ערך שלילי קרוב לקצה השמאלי, וערך חיובי קרוב לקצה הימני ולפי משפט ערך הביניים מקבל אפס בקטע, כפי שרצינו.

שאלה 6

השתמשו בפיתוח טיילור של הפונקציה ln(\frac{1+x}{1-x}) לחשב את ln 2 עם טעות קטנה מ-2 \times 10^{-4}.

פתרון

.... -_-