הבדלים בין גרסאות בדף "אורך עקומה"

גרסה מ־18:53, 28 באפריל 2012

תהי f פונקציה גזירה ברציפות בקטע סגור $[a,b]$ . נקרב את אורך העקומה שלה (אורך הקו שלה בגרף) על ידי גבול סכום המיתרים בין נקודות הפונקציה על חלוקות (סכום הקווים הכחולים בציור).

עבור חלוקת הקטע $P=\{x_0,...,x_n\}$ , הנוסחא לסכום המיתרים נתונה על ידי:

\begin{align}L(P)&=\sum_{k=1}^n\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2}\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\left(\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}\right)^2}\ (x_k-x_{k-1})\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+f'(c_k)^2}\Delta x_k\end{align}

כאשר הנקודות $c_k$ מקיימות $\forall k:\ c_k\in(x_{k-1},x_k)$ . אכן קיימות נקודות כאלה לפי משפט לגראנז'.

הגענו לסכום רימן עבור הפונקציה $\sqrt{1+f'(x)^2}$ . כיוון שנתון כי $f'(x)$ רציפה, גם $\sqrt{1+f'(x)^2}$ רציפה בקטע הסגור ולכן אינטגרבילית.

על כן סכומי רימן אלה שואפים לאינטגרל $\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\ \mathrm dx$ וזוהי הנוסחא לחישוב אורך עקום של פונקציה.

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 [[קובץ:קירוב אורך גרף.png|ימין|300px]]
-תהי f פונקציה גזירה ברציפות בקטע סגור <math>[a,b]</math>. נקרב את אורך העקומה שלה (אורך הקו שלה בגרף) על ידי גבול סכום המיתרים בין נקודות הפונקציה על חלוקות (סכום הקוים הכחולים בציור).
+תהי f פונקציה גזירה ברציפות בקטע סגור <math>[a,b]</math>. נקרב את אורך העקומה שלה (אורך הקו שלה בגרף) על ידי גבול סכום המיתרים בין נקודות הפונקציה על חלוקות (סכום הקווים הכחולים בציור).
-עבור חלוקת הקטע <math>P=\{x_0,...,x_n\}</math> הנוסחא לסכום המיתרים נתונה על ידי:
+עבור חלוקת הקטע <math>P=\{x_0,...,x_n\}</math>, הנוסחא לסכום המיתרים נתונה על ידי:
 {{left|<math>\begin{align}L(P)&=\sum_{k=1}^n\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2}\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\left(\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}\right)^2}\ (x_k-x_{k-1})\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+f'(c_k)^2}\Delta x_k\end{align}</math>}}

הבדלים בין גרסאות בדף "אורך עקומה"

גרסה מ־18:53, 28 באפריל 2012

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים