הבדלים בין גרסאות בדף "אורך עקומה"

גרסה מ־16:57, 27 בינואר 2016

תהי $f$ פונקציה גזירה ברציפות בקטע סגור $[a,b]$ . נקרב את אורך העקומה שלה (אורך הקו שלה בגרף) על-ידי גבול סכום המיתרים בין נקודות הפונקציה על חלוקות (סכום הקווים הכחולים בציור).

עבור חלוקת הקטע $P=\{x_0,\ldots,x_n\}$ , הנוסחא לסכום המיתרים נתונה על-ידי:

\begin{align}L(P)&=\sum_{k=1}^n\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+\big(f(x_k)-f(x_{k-1})\big)^2}\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\left(\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}\right)^2}\ (x_k-x_{k-1})\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+f'(c_k)^2}\Delta x_k\end{align}

כאשר הנקודות $c_k$ מקיימות $\forall k:\ c_k\in(x_{k-1},x_k)$ . אכן קיימות נקודות כאלה לפי משפט לגראנז'.

הגענו לסכום רימן עבור הפונקציה $\sqrt{1+f'(x)^2}$ . כיון שנתון כי $f'(x)$ רציפה, גם $\sqrt{1+f'(x)^2}$ רציפה בקטע הסגור ולכן אינטגרבילית.

על כן סכומי רימן אלה שואפים לאינטגרל $\displaystyle\int\limits_a^b \sqrt{1+f'(x)^2}\ dx$ וזוהי הנוסחא לחישוב אורך עקום של פונקציה.

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 [[קובץ:קירוב אורך גרף.png|ימין|300px]]
-תהי f פונקציה גזירה ברציפות בקטע סגור <math>[a,b]</math>. נקרב את אורך העקומה שלה (אורך הקו שלה בגרף) על ידי גבול סכום המיתרים בין נקודות הפונקציה על חלוקות (סכום הקווים הכחולים בציור).
+תהי <math>f</math> פונקציה גזירה ברציפות בקטע סגור <math>[a,b]</math>. נקרב את אורך העקומה שלה (אורך הקו שלה בגרף) על-ידי גבול סכום המיתרים בין נקודות הפונקציה על חלוקות (סכום הקווים הכחולים בציור).
-עבור חלוקת הקטע <math>P=\{x_0,...,x_n\}</math>, הנוסחא לסכום המיתרים נתונה על ידי:
+עבור חלוקת הקטע <math>P=\{x_0,\ldots,x_n\}</math>, הנוסחא לסכום המיתרים נתונה על-ידי:
-{{left|<math>\begin{align}L(P)&=\sum_{k=1}^n\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2}\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\left(\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}\right)^2}\ (x_k-x_{k-1})\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+f'(c_k)^2}\Delta x_k\end{align}</math>}}
+{{left|<math>\begin{align}L(P)&=\sum_{k=1}^n\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+\big(f(x_k)-f(x_{k-1})\big)^2}\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\left(\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}\right)^2}\ (x_k-x_{k-1})\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+f'(c_k)^2}\Delta x_k\end{align}</math>}}
 כאשר הנקודות <math>c_k</math> מקיימות <math>\forall k:\ c_k\in(x_{k-1},x_k)</math>. אכן קיימות נקודות כאלה לפי משפט לגראנז'.
+הגענו לסכום רימן עבור הפונקציה <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math>. כיון שנתון כי <math>f'(x)</math> רציפה, גם <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math> רציפה בקטע הסגור ולכן אינטגרבילית.
-הגענו לסכום רימן עבור הפונקציה <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math>. כיוון שנתון כי <math>f'(x)</math> רציפה, גם <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math> רציפה בקטע הסגור ולכן אינטגרבילית.
+על כן סכומי רימן אלה שואפים לאינטגרל <math>\displaystyle\int\limits_a^b \sqrt{1+f'(x)^2}\ dx</math> וזוהי הנוסחא לחישוב אורך עקום של פונקציה.
-על כן סכומי רימן אלה שואפים לאינטגרל <math>\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\ \mathrm dx</math> וזוהי הנוסחא לחישוב אורך עקום של פונקציה.
 [[קטגוריה:אינפי]]

הבדלים בין גרסאות בדף "אורך עקומה"

גרסה מ־16:57, 27 בינואר 2016

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים