שינויים

עד כה הגדרנו אינטגרביליות לפי רימן ודרבורימאן ודארבו. הגדרות אלו עוסקות בפונקציות חסומות ובקטעים סופיים בלבד.

==אינטגרל לא -אמיתי (מוכלל) מסוג ראשון==תהי <math>f </math> פונקציה האינטגרבילית אינטגרבילית על כל קטע מהצורה <math>[a,a+M]</math> כאשר <math>M>0</math> נגדיר

::<math>\int_aint\limits_a^\infty f(x)dx:=\lim_{t\rightarrowto\infty}\int_aint\limits_a^tft f(x)dx</math>

==אינטגרל לא אמיתי ההגדרה דומה עבור קטע מהצורה <math>(מוכלל) מסוג שני==-\infty,a]</math>

==אינטגרל כללילא-אמיתי (מוכלל) מסוג שני==תהי <math>f</math> פונקציה אינטגרבילית על כל קטע מהצורה <math>[a,b-\epsilon]</math> כאשר <math>\epsilon >0</math> , ואינה חסומה על הקטע <math>[a,b]</math> . נגדיר

:<math>\int\limits_a^b f(x)dx:=\lim_{t\to b^-}\int\limits_a^t f(x)dx</math> אומרים כי האינטגרל '''מתכנס''' אם הגבול קיים. ההגדרה דומה אם הפונקציה אינה חסומה בצד השמאלי. ==אינטגרל כללי==תהי <math>f </math> פונקציה. אזי האינטגרל <math>\int_adisplaystyle\int\limits_a^bfb f(x)dx</math> כאשר <math>-\infty\leq le a \leq le b \leq le \infty</math> '''מתכנס''' אם ורק אם ניתן לחלק את הקטע למספר סופי של קטעים עליהם <math>f </math> אינטגרבילית רימןרימאן/דרבודארבו, האינטגרל על <math>f </math> הוא מתכנס מסוג ראשון או מתכנס מסוג שני.

''';דוגמא.'''

האם האינטגרל הבא מתכנס <math>\int_displaystyle\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{1dx}{x(x-1)}</math>?

''';פתרון.'''

נחלק את הקטע לתתי -קטעים עליהם האינטגרל הוא מסוג ראשון או שני. הפונקציה אינה חסומה באיזור באזור הנקודות אפס ואחד0 ו-1. לכן נחלק לחלקים שהם סופיים ובהם הפונקציה אינה חסומה בצד אחד, או קטעים אינסופיים בהם הפונקציה אינטגרבילית על כל תת -קטע סופי.

::<math>\int_int\limits_{-\infty}^\infty\frac{1dx}{x(x-1)}=\int_int\limits_{-\infty}^{-1}\frac{1dx}{x(x-1)}+\int_int\limits_{-1}^{0}\frac{1dx}{x(x-1)}+\int_{0}int\limits_0^{\frac{1}{2}}frac12\frac{1dx}{x(x-1)}+\int_int\limits_{\frac{1}{2}frac12}^{1}\frac{1dx}{x(x-1)}+\int_{1}int\limits_1^{2}\frac{1dx}{x(x-1)}+\int_{2}int\limits_2^{\infty}\frac{1dx}{x(x-1)}</math>