שינויים

עד כה הגדרנו אינטגרביליות לפי רימן ודרבורימאן ודארבו. הגדרות אלו עוסקות בפונקציות חסומות ובקטעים סופיים בלבד.

תהי <math>f</math> פונקציה אינטגרבילית על כל קטע מהצורה <math>[a,b-\epsilon]</math> כאשר <math>\epsilon >0</math>, ואינה חסומה על הקטע <math>[a,b]</math>. נגדיר

תהי <math>f</math> פונקציה. אזי האינטגרל <math>\displaystyle\int\limits_a^b f(x)dx</math> כאשר <math>-\infty\le a\le b\le \infty</math> '''מתכנס''' אם ורק אם ניתן לחלק את הקטע למספר סופי של קטעים עליהם <math>f</math> אינטגרבילית רימןרימאן/דרבודארבו, האינטגרל על <math>f</math> הוא מתכנס מסוג ראשון או מתכנס מסוג שני.

''';דוגמא.'''

האם האינטגרל הבא מתכנס <math>\displaystyle\int\limits_{-\infty}^\infty\frac1frac{dx}{x(x-1)}</math>?

''';פתרון.'''

נחלק את הקטע לתתי-קטעים עליהם האינטגרל הוא מסוג ראשון או שני. הפונקציה אינה חסומה באזור הנקודות אפס ואחד0 ו-1. לכן נחלק לחלקים שהם סופיים ובהם הפונקציה אינה חסומה בצד אחד, או קטעים אינסופיים בהם הפונקציה אינטגרבילית על כל תת-קטע סופי.

<math>\int\limits_{-\infty}^\infty\frac1frac{dx}{x(x-1)}=\int\limits_{-\infty}^{-1}\frac1frac{dx}{x(x-1)}+\int\limits_{-1}^0\frac1frac{dx}{x(x-1)}+\int\limits_0^\frac12\frac1frac{dx}{x(x-1)}+\int\limits_{\frac12}^1\frac1frac{dx}{x(x-1)}+\int\limits_1^2\frac1frac{dx}{x(x-1)}+\int\limits_2^\infty\frac1frac{dx}{x(x-1)}</math>