שינויים

ניעזר נעזר באינטגרציה בחלקים.

<math>\int\frac{\arctan(e^{x})}{e^{x}}dx=\int\arctan(e^{x})e^{-x}dx=\begin{Bmatrix}du=e^{-x}dx\Rightarrow u=-e^{-x}\\ v=\arctan(e^{x})\Rightarrow dv=\frac{e^xdxx}{1+e^{2x}}dx\end{Bmatrix}=-e^{-x}\arctan(e^x)+\int\frac{dx}{1+e^{2x}}</math>

<math>\int \frac{dx}{x}\ln\left(\frac{1}{x}\right)}{x}dx</math>

<math>\int begin{Bmatrix}u=-\ln(x)\\dv=\frac{dx1}{x}\end{Bmatrix}\qquad\int\frac{\ln\left(\frac{1}{x}\right)}{x}dx={\color{blue}-\int \frac{lnx\ln(x)}{x}dx= -\frac{ln^{2}(x)+\int\frac{\ln(x)}{2x}dx}+c</math>

<math>-2\int \frac{arcsinx\ln(x)}{x^{2}}dx=-\ln^2(x)</math>

ראשית נפעיל אינטגרציה בחלקים כאשר: <math>v=arcsinx,du=\int\frac{dx\ln\left(\frac{1}{x^}\right)}{x}dx=-\frac{\ln^2(x)}{2}+C</math>

==9==<math>\int \frac{arcsinx\arcsin(x)}{x^2}dx</math> ===פתרון===ראשית נפעיל אינטגרציה בחלקים כאשר: <math>v=\arcsin(x)\ ,\ du=\dfrac{dx}{x^2}</math> <math>\int\frac{\arcsin(x)}{x^2}dx=-\frac{arcsinx\arcsin(x)}{x}+\int \frac{dx}{x\sqrt{1-x^{2}}}</math>

הצבה נציב <math>x=asina\sin(tu)\ ,\ dx=a\cos(u)du</math>  <math>\int x^2\sqrt{a^2-x^2}dx=\int a^2\sin^2(u)\sqrt{a^2-a^2\sin^2(u)}a\cos(u)du=a^4\int\big(\sin(u)\cos(u)\big)^2du</math>  <math>=\dfrac{a^4}{4}\int\sin^2(2u)du=\dfrac{a^4}{4}\int\frac{1-\cos(4u)}{2}du=\dfrac{a^4}{8}\left(\int du-\int\cos(4u)du\right)=\dfrac{a^4}{8}\left(u-\dfrac{\sin(4u)}{4}\right)</math>  <math>=\dfrac{a^4\big(u-\sin(u)\cos(u)\cos(2u)\big)}{8}+C</math> מההצבה הראשונית מתקבל: <math>x=a\sin(u)\Rightarrow u=\arcsin\left(\frac{x}{a}\right)</math> לבסוף: <math>\int x^2\sqrt{a^2-x^2}dx=\dfrac{a^4\arcsin\left(\frac{x}{a}\right)+x(2x^2-a^2)\sqrt{a^2-x^2}}{8}+C</math>

הצבה היפרבולית <math>x=asinha\sinh(t)</math>.