שינויים

<math>\int \frac{1dx}{x} dx = \ln(|x|)+cC</math>

 ''';השלמה לריבוע והצבה ראשונה:'''

<math>x^{2}-4x-5=(x-2)^{2}-9</math>

ולכן ההצבה הראשונה שנעשה תהא: <math>u=x-2</math>, וכמובן קל להבין כי <math>dx=du</math>.

<math>\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-4x-5}}=\int \frac{du}{\sqrt{u^{2}-9}}</math>

''';פונקציות טריגונומטריות היפרבוליות (הערה):'''

ניעזר בתכונות של <math>\sinh(x)</math> ושל <math>\cosh(x)</math>:

<math>(\cosh(x))'=\sinh(x)=\int \cosh(x)dx</math>

וכן בזהות: <math>\cosh^{2}(x)=\sinh^{2}(x)+1</math>

''';הצבה שנייהשניה:'''

נציב: <math>u=3cosh3\cosh(t)\Rightarrow du=3sinh3\sinh(t)dt</math>

<math>\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-4x-5}}=\int \frac{du}{\sqrt{u^{2}-9}}=\int \frac{3sinh3\sinh(t)dt}{\sqrt{9cosh9\cosh^{2}(t)-9}}dt=\int \frac{3sinh3\sinh(t)dt}{3sinh3\sinh(t)}dt=\int dt=t+C</math>

ולהחזיר את t לxל-x, אני משאיר לכם (:

<math>\int \frac{\sin^{2}(x)}{\cos^{6}(x)}dx</math>

<math>\int \frac{\sin^{2}(x)}{\cos^{6}(x)}dx=\begin{Bmatrix}t=tanx\tan(x)\\ dt=\frac{dx}{\cos^{2}(x)}\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}\sin^{2}(x)=\frac{t^{2}}{t^{2}+1}\\ \cos^{2}(x)=\frac{1}{t^{2}+1}\end{Bmatrix}=\int \frac{\frac{t^{2}}{t^{2}+1}}{\frac{1}{(t^2+1)^{2}}}dt=</math>

<math>\int \frac{\sin^{2}(x)}{\cos^{6}(x)}dx=\int \frac{\frac{t^{2}}{t^{2}+1}}{\frac{1}{(t^2+1)^{2}}}dt=\int t^{2}(t^{2}+1)dt=\cdots =\frac{t^{5}}{5}+\frac{t^{3}}{3}+cC</math>

:: יש טעות בהצבה של <math>\cos^{2}(x)</math>, שכן <math>\cos^{6}(x)=(\cos^{2}(x))^3=\frac{1}{(t^2+1)^3}</math>

::: אבל צריך לקחת בחשבון גם את הdtה-dt:::: צודק. נראה לי שאם אני לא ראיתי את זה, גם אחרים לא יראו ;)

<math>\int \sqrt{2-x-x^{2}}dx</math>

<math>\int \sqrt{2-x-x^{2}}dx=\int \sqrt{1.5^{2}-(x+0.5)^{2}}dx=\int \sqrt{1.5^{2}-u^{2}}du</math> 

הצבה שנייהשניה: <math>u=1.5sint5\sin(t)\Rightarrow du=1.5costdt5\cos(t)dt</math>

<math>\int \sqrt{1.5^{2}-u^{2}}du=\int 1.5\sqrt{1-\sin^{2}(t)} \cdot 1cdot1.5cos5\cos(t)dt=2.25\int \cos^{2}(t)dt=2.25\int\frac{cos2t\cos(2t)+1}{2}dt=2.25\left(\frac{sin2t\sin(2t)}{4}+\frac{t}{2}\right)+c C</math>

ומכאן מעבירים את t לxל-x.

<math>\int \sqrt{1.5^{2}-u^{2}}du=\int (u)'\sqrt{1.5^{2}-u^{2}}du=u\sqrt{1.5^{2}-u^{2}}+\int \frac{u^{2}du2du}{\sqrt{1.5^{2}-u^{2}}}</math> 

<math>\int \frac{u^{2}du}{\sqrt{1.5^{2}-u^{2}}}=\int \frac{u^{2}-1.5^{2}+1.5^{2}}{\sqrt{1.5^{2}-u^{2}}}du=\int\frac{1.5^{2}}{\sqrt{1.5^{2}-u^{2}}}du-\int\sqrt{1.5^{2}-u^{2}}du </math>  כעת נביט רק על האינטגרל הראשון ונציב: <math>1.5v=u</math>

<math>\int\frac{1.5^{2}}{\sqrt{1.5^{2}-u^{2}}}du=1.5^{2}\int \frac{1.5dv5}{1.5\sqrt{1-v^{2}}}dv=1.5^{2}\arcsin(v)=2.25arcsin25\arcsin\left(\frac{2u}{3}\right)+c C</math>

<math>\int \sqrt{1.5^{2}-u^{2}}du=u\sqrt{1.5^{2}-u^{2}}+2.25arcsin25\arcsin\left(\frac{2u}{3}\right)-\int \sqrt{1.5^{2}-u^{2}}du </math>

<math>2\int \sqrt{1.5^{2}-u^{2}}du=u\sqrt{1.5^{2}-u^{2}}+2.25arcsin25\arcsin\left(\frac{2u}{3}\right)+cC</math>

<math>\int \frac{dx}{x+\sqrt[n]{x}}</math> כאשר <math> n\in\mathbb{N}</math>.

הכוונה היא עבור n<math>\int\frac{dx}{x+\sqrt[n]{x}}=\begin{Bmatrix}t^n=x\\nt^{n-1, עבור }dt=dx\end{Bmatrix}=\int\frac{nt^{n-1}}{t^n+t}dt=n\int\frac{t^{n-2}}{t^{n-1 תסתכלו בדוגמא הראשונה.}+1}dt=\begin{Bmatrix}k=t^{n-1}+1\\dk=(n-1)t^{n-2}dt\end{Bmatrix}=</math>

<math>\int \frac{dx}{x+\sqrt [n]{x}}=\begin{Bmatrix}t^{n}=x\\ nt^{n-1}dt=dx\end{Bmatrix}=\int \frac{nt^{n-1}}{t^{n}+t}dt=n\int \frac{t^{n-2}}{t^{n-1}+1}dt=\begin{Bmatrix}k=t^{n-1}+1\\ dk=(n-1)t^{n-2}dt\end{Bmatrix}=</math>  <math>\int \frac{dx}{x+\sqrt [n]{x}}=\frac{n}{n-1}\int \frac{dk}{k}=\frac{n}{n-1}\ln(|k|)+c= \frac{n}{n-1}\ln\Big(|x^{\frac {n-1}{n}}+1|\Big)+cC</math>

 <math>\int \frac{\arctan(e^{x})}{e^{x}}dx</math>

<math>\int \frac{\arctan(e^{x})}{e^{x}}dx=\int \arctan(e^{x})e^{-x}dx=\begin{Bmatrix}du=e^{-x}dx\Rightarrow u=-e^{-x}\\ v=\arctan(e^{x})\Rightarrow dv=\frac{e^{x}dxxdx}{1+e^{2x}}\end{Bmatrix}=-e^{-x}\arctan(e^{x})+\int\frac{dx}{1+e^{2x}}</math> 

<math>\int\frac{dx}{1+e^{2x}}=\begin{Bmatrix}t=e^{2x}\\ dt=2tdx2t\,dx\end{Bmatrix}=\int \frac{dt}{2t(1+t)}=\int \frac{dt}{2t}-\int \frac{dt}{2t+2}=0.5\big(\ln(|2tt|)-\ln(|2tt+21|+c)\big)+C=0.5ln5\ln\left(2e\frac{e^{2x})-0.5ln(2e}{1+e^{2x}+2}\right)+cC</math>

כל שנותר הוא לאחד את התוצאות, ולקבל את התוצאה הסופית.לבסוף: <math>\int\frac{\arctan(e^x)}{e^x}dx=\ln\left(\frac{e^x}{\sqrt{1+e^{2x}}}\right)-e^{-x}\arctan(e^x)</math>

 <math>\int \frac{\sqrt{x^{2}-16}}{x}dx</math>

נעשה את ההצבה הבאה: <math>x=\frac{4}{cosu\cos(u)}\Rightarrow dxu=\arccos\left(\frac{4sinu4}{cos^{2x}u}du\right)</math>

<math>\int \frac{\sqrt{x^{2}-16}}{x}dx=\int \frac{\sqrt{\frac{16}{cos^{2}u}-16}}{\frac{4}{cosu}}\cdot \frac{4sinu}{cos^{2}u}du=\int 4tan^{2}udu=\int לבסוף (4tan^{2}+4-4אחרי פענוח)udu=4tanu-4u+c</math>: