שינויים

<math>\begin{Bmatrix}u=-\ln(x)\\dv=\frac{1}{x}\end{Bmatrix}\qquad\int\frac{\ln\left(\frac{1}{x}\right)}{x}dx={\color{blue}-\int\frac{\ln(x)}{x}dx=-\ln^2(x)^2+\int\frac{\ln(x)}{x}dx}</math>

<math>-2\int\frac{\ln(x)}{x}dx=-\ln^2(x)^2</math>

<math>\int\frac{\ln\left(\frac{1}{x}\right)}{x}dx=-\frac{\ln^2(x)^2}{2}+C</math>

<math>\int \frac{sinx\cdot cosxsin(x)\cos(x)}{\sqrt{asina\sin^{2}(x)+bcosb\cos^{2}(x)}}dx</math>

 <math>\frac{1}{2a-2b}\int\frac{du}{\sqrt{u}}=\frac{1\sqrt u}{a-b}\sqrt{u}+cC=\frac{1}{a-b}\sqrt{(a-b)t^{2}+b}+c=\frac{1}{a-b}+C=\frac{\sqrt{(a-b)\sin^{2}(x)+b}}{a-b}+cC</math>

 להציב <math>t=asina\sin^{2}(x)+bcosb\cos^{2}(x)</math>

<math>\int \sqrt {\tan ^2(x)+2} dx </math>

'''הצבה 1:''' <math>t=tanx\tan(x)</math>

'''הצבה 2:''' <math>t=\sqrt{2}sinhusqrt2\sinh(u)</math>

מכאן זו פונקציה רצינואלית של ליניארי לינארי חלקי פולינום ממעלה 2, זה לא בעיה בהשוואה למה שהלך למעלה.

<math>\int \frac{1dx}{\sqrt[4]{\sin^3(x)\cos^3cos5(x)^5}} dx</math>

כעת נציב: <math>\int \frac{dx}{\sqrt[4]{sint^{3}x\cdot cos^{5}x}}=\int \frac{dx}{cosx\sqrt{sinx}\sqrt[4]{sinx\cdot cosx}}=\int \frac{\sqrt{sinx}dx}{cosx\cdot sinx \cdot \sqrt[4]{sinx\cdot cosx}}=2\int \frac{\sqrt[4]{sin^{2}tan(x}}{sin2x\cdot \sqrt[4]{sinx\cdot cosx}}dx=2\int \frac{\sqrt[4]{tanx}dx}{sin2x})</math>

כעת נציב: <math>2\int\frac{\sqrt[4]{\tan(x)}}{\sin(2x)}dx=2\int\frac{t}{\frac{2t^4}{t^8+1}}\cdot\frac{4t^3}{(t^8+1)}dt=2\int\frac{4t^4}{2t^4}dt=tanx4\int dt=4\sqrt[4]{\tan(x)}+C</math>

<math>\int \frac {\ln(x)-1}{\ln(x)^2} dx=\int \frac {\ln(x)}{\ln(x)^2} dx - \int \frac {1dx}{\ln(x)^2}dx =\int \frac {dx}{\ln(x)}- \int \frac {dx}{\ln(x)^2}</math>

<math>\int \frac{dx}{lnx\ln(x)}=\begin{Bmatrix}u=x &du=dx \\ v=\frac{1}{lnx\ln(x)} &dv=-\frac{dx}{xlnx\ln(x)^{2}x} \end{Bmatrix}=\frac{x}{lnx\ln(x)}+\int \frac{dx}{\ln(x)^{2}x}</math>

<math>\int \frac{lnx\ln(x)-1}{\ln(x)^{2}x}dx=\int \frac{dx}{lnx\ln(x)} - \int \frac{dx}{\ln(x)^{2}x}=\frac{x}{lnx\ln(x)}+cC</math>