שינויים

תהי <math>f </math> פונקציה ממשית המוגדרת וחסומה בקטע <math>(a,b)</math>. אזי ישנן שתי הגדרות שקולות לאינטגרל המסויים המסוים של <math>f </math> בקטע:

*הגדרה לפי '''דרבו''': אם גבול [[סכום דרבו|סכומי דרבו]] התחתונים קיים ושווה לגבול סכומי דרבו העליונים אזי הפונקציה <math>f </math> '''אינטגרבילית''' בקטע והאינטגרל המסויים המסוים בקטע שווה לגבול סכומי הדרבודרבו.*הגדרה לפי '''רימן''': אם גבול [[סכום רימן|סכומי רימן]] קיים אזי <math>f </math> '''אינטגרבילית''' בקטע והאינטגרל המסויים המסוים בקטע שווה לגבול סכומי הרימןרימן.

::<math>D(x)=\begin{cases} 1&x\in\mathbb{Q}\\0&x\notin\mathbb{Q}\end{cases}</math>

כיוון כיון שבכל [[חלוקה]] ובכל קטע קיימות גם נקודה רציונאלית וגם נקודה אי -רציונאלית, מתקיים לכל קטע:

::<math>m_k=\inf\{D(x)|x_{k-1}\leq le x\leq le x_k\}=0</math>

::<math>M_k=\sup\{D(x)|x_{k-1}\leq le x\leq le x_k\}=1</math>

 ולכן '''כל''' [[סכום דרבו]] תחתון שווה ::<math>\sum_k0\cdot\Delta_k =0</math>

::<math>\sum_k1\cdot\Delta_k=\sum_k\Delta_k=\Big|[0,1]\Big|=1-0=1</math>

שכן סכום אורכי כל תתי -הקטעים של החלוקה, שווה לאורך הקטע כולו.

אם כך, גבול סכומי דרבו התחתונים הינו אפס הנו <math>0</math> והוא שונה מגבול סכומי דרבו העליונים שהוא <math>1</math>, ולכן הפונקציה '''אינה אינטגרבילית''' בקטע.

הוכח כי הפונקציה הבאה אינטגרבילית בקטע :<math>[0,1]</math>, וכי מתקיים <math>\int_0^1RR(x)dx=\begin{cases} \frac1{q}&x=\frac{p}{q}\\0&x\notin\Q\end{cases}</math>

::<math>R(x)=\begin{cases} \frac{1}{q}&x=\frac{p}{q}\\0&x\notin\mathbb{Q}\end{cases}</math> כאשר <math>\frac{p}{q}</math> הוא '''השבר המצומצם''' של <math>x</math>.

באופן דומה לתרגיל על פונקציה פונקציית דיריכלה, קל לראות כי גבול סכומי הדרבו דרבו התחתונים הוא אפס<math>0</math>. לכן ניתן להוכיח כי גבול סכומי דרבו העליונים הוא אפס גם כןהוא <math>0</math>.

יהי אפסילון גדול מאפס<math>\epsilon>0</math>. צריך למצוא דלתא גדול מאפס <math>\delta>0</math> כך ש'''לכל''' [[חלוקה]] עם [[חלוקה|פרמטר חלוקה]] קטן מדלתאמ <math>\delta</math>, מתקיים שמרחק סכום הדרבו העליון שלה מאפס מ- <math>0</math> קטן מאפסילוןמ- <math>\epsilon</math>.

כיוון כיון שמדובר בפונקציה חיובית, והגבול הינו אפסהנו <math>0</math>, צריך להוכיח שלכל חלוקה סכום הדרבו העליון קטן מאפסילוןמ- <math>\epsilon</math>.

כעת נראה כי לכל מספר טבעי <math>q</math> מספר אכן, הנקודות בקטע בהן היחידות המקיימות תנאי זה הן <math>R(x)1,\geqfrac12,\frac13,\frac23,\frac14,\frac24,\frac34,\ldots,\frac1{q},\ldots,\frac{q-1}{q}</math> הוא סופי, ונסמן מספר זה ב-<math>n_q</math>(שימו לב שיתכן שחלק מהשברים הללו אינם מצומצמים ולכן יש אפילו פחות נקודות מאשר ברשימה הזו).

אכן, הנקודות היחידות המקיימות תנאי זה הן <math>1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{4},\frac{2}{4},\frac{3}{4},...,\frac{1}{q},...,\frac{q-1}{q}</math> (שימו לב שייתכן שחלק מהשברים הללו אינם מצומצמים ולכן יש אפילו פחות נקודות מאשר ברשימה הזו).  כעת, בהנתן חלוקה P כלשהי, לכל היותר <math>n_q</math> קטעים מכילים נקודות בהן <math>R\geq\frac{1}{q}</math>, ולכן שטח הפונקציה במלבנים המתאימים לחלקים אלה הוא לכל היותר 1 כפול אורך הקטע. בשאר הקטעים, גובה הפונקציה חסום על -ידי <math>\frac{1}frac1{q}</math>.

::<math>\overline{S}(R,P)\leq le \frac{1}frac1{q}\cdot \Big|[0,1]\Big| + n_q\cdot\lambda(P)</math>

::<math>\frac{1}frac1{q}<\frac{\epsilon}{2}</math>

ולאחר מכן נבחר דלתא <math>\delta</math> כך ש:::<math>n_q\delta < \frac{\epsilon}{2}</math>

וכך קיבלנו את המשלשרצינו.<math>\blacksquare</math>