שינויים
[[קטגוריה:אינפי]]
==הגדרה==
תהי <math>f</math> פונקציה ממשית המוגדרת וחסומה בקטע <math>(a,b)</math>. אזי ישנן שתי הגדרות שקולות לאינטגרל המסוים של <math>f</math> בקטע:
*הגדרה לפי '''דרבודארבו''': אם גבול [[סכום דרבו|סכומי דרבודארבו]] התחתונים קיים ושווה לגבול סכומי דרבו דארבו העליונים אזי הפונקציה <math>f</math> '''אינטגרבילית''' בקטע והאינטגרל המסוים בקטע שווה לגבול סכומי דרבודארבו.*הגדרה לפי '''רימןרימאן''': אם גבול [[סכום רימן|סכומי רימןרימאן]] קיים אזי <math>f</math> '''אינטגרבילית''' בקטע והאינטגרל המסוים בקטע שווה לגבול סכומי רימןרימאן.
==דוגמאות==
===פונקצית דיריכלה===
הוכח כי הפונקציה הבאה אינה אינטגרבילית בקטע <math>[0,1]</math>:
:<math>D(x)=\begin{cases} 1&x\in\Q\\0&x\notin\Q\end{cases}</math>
כיון שבכל [[חלוקה]] ובכל קטע קיימות גם נקודה רציונאלית וגם נקודה אי-רציונאלית, מתקיים לכל קטע:
ולכן '''כל''' [[סכום דרבו]] תחתון שווה
:<math>\sum_k0\cdot\Delta_k =0</math>
וכמו כן '''כל''' [[סכום דרבו]] עליון שווה
שכן סכום אורכי כל תתי-הקטעים של החלוקה, שווה לאורך הקטע כולו.
אם כך, גבול סכומי דרבו דארבו התחתונים הנו <math>0</math> והוא שונה מגבול סכומי דרבו דארבו העליונים שהוא <math>1</math>, ולכן הפונקציה '''אינה אינטגרבילית''' בקטע.
===פונקצית רימןרימאן===הוכח כי הפונקציה הבאה אינטגרבילית בקטע <math>[0,1]</math>, וכי מתקיים <math>\displaystyle\int\limits_0^1 R(x)dx=0</math>
:<math>R(x)=\begin{cases} \frac1{q}&x=\frac{p}{q}\\0&x\notin\Q\end{cases}</math>
כאשר <math>\frac{p}{q}</math> הוא '''השבר המצומצם''' של <math>x</math>.
יהי <math>\epsilon>0</math>. צריך למצוא <math>\delta>0</math> כך ש'''לכל''' [[חלוקה]] עם [[חלוקה|פרמטר חלוקה]] קטן מ - <math>\delta</math>, מתקיים שמרחק סכום הדרבו הדארבו העליון שלה מ- <math>0</math> קטן מ- <math>\epsilon</math>.
כיון שמדובר בפונקציה חיובית, והגבול הנו <math>0</math>, צריך להוכיח שלכל חלוקה סכום הדרבו הדארבו העליון קטן מ- <math>\epsilon</math>.
כעת נראה כי לכל מספר טבעי <math>q</math> מספר הנקודות בקטע בהן <math>R(x)\ge\frac1{q}</math> הוא סופי, ונסמן מספר זה ב-<math>n_q</math> .
אכן, הנקודות היחידות המקיימות תנאי זה הן <math>1,\frac12,\frac13,\frac23,\frac14,\frac24,\frac34,\ldots,\frac1{q},\ldots,\frac{q-1}{q}</math> (שימו לב שיתכן שחלק מהשברים הללו אינם מצומצמים ולכן יש אפילו פחות נקודות מאשר ברשימה הזו).
כעת, בהנתן חלוקה <math>P</math> כלשהי, לכל היותר <math>n_q</math> קטעים מכילים נקודות בהן <math>R\ge\frac1{q}</math>, ולכן שטח הפונקציה במלבנים המתאימים לחלקים אלה הוא לכל היותר <math>1</math> כפול אורך הקטע.
בשאר הקטעים, גובה הפונקציה חסום על-ידי <math>\frac1{q}</math> .
לכן סכום הדרבו העליון הוא לכל היותר סכום הקטעים משני הסוגים האלו, ויתרה על כך:
כאשר <math>\lambda(P)</math> הוא אורך הקטע הכי ארוך בחלוקה. בוודאי אורכי הקטעים המכילים את הנקודות הגבוהות קטנים או שווים לו.
