אינטגרל מסויים

הגדרה

תהי $f$ פונקציה ממשית המוגדרת וחסומה בקטע $(a,b)$. אזי ישנן שתי הגדרות שקולות לאינטגרל המסוים של $f$ בקטע:

• הגדרה לפי דרבו: אם גבול סכומי דרבו התחתונים קיים ושווה לגבול סכומי דרבו העליונים אזי הפונקציה $f$ אינטגרבילית בקטע והאינטגרל המסוים בקטע שווה לגבול סכומי דרבו.
• הגדרה לפי רימן: אם גבול סכומי רימן קיים אזי $f$ אינטגרבילית בקטע והאינטגרל המסוים בקטע שווה לגבול סכומי רימן.

דוגמאות

פונקצית דיריכלה

הוכח כי הפונקציה הבאה אינה אינטגרבילית בקטע $[0,1]$:

$D(x)=\begin{cases} 1&x\in\Q\\0&x\notin\Q\end{cases}$

הוכחה. כיון שבכל חלוקה ובכל קטע קיימות גם נקודה רציונאלית וגם נקודה אי-רציונאלית, מתקיים לכל קטע:

$m_k=\inf\{D(x)|x_{k-1}\le x\le x_k\}=0$

$M_k=\sup\{D(x)|x_{k-1}\le x\le x_k\}=1$

ולכן כל סכום דרבו תחתון שווה

$\sum_k0\cdot\Delta_k =0$

וכמו כן כל סכום דרבו עליון שווה

$\sum_k1\cdot\Delta_k=\sum_k\Delta_k=\Big|[0,1]\Big|=1-0=1$

שכן סכום אורכי כל תתי-הקטעים של החלוקה, שווה לאורך הקטע כולו.

אם כך, גבול סכומי דרבו התחתונים הנו $0$ והוא שונה מגבול סכומי דרבו העליונים שהוא $1$, ולכן הפונקציה אינה אינטגרבילית בקטע.

פונקצית רימן

הוכח כי הפונקציה הבאה אינטגרבילית בקטע $[0,1]$, וכי מתקיים $\displaystyle\int\limits_0^1 R(x)dx=0$

$R(x)=\begin{cases} \frac1{q}&x=\frac{p}{q}\\0&x\notin\Q\end{cases}$

כאשר $\frac{p}{q}$ הוא השבר המצומצם של $x$.

הוכחה. באופן דומה לתרגיל על פונקציית דיריכלה, קל לראות כי גבול סכומי דרבו התחתונים הוא $0$. לכן ניתן להוכיח כי גבול סכומי דרבו העליונים גם הוא $0$.

יהי $\epsilon>0$. צריך למצוא $\delta>0$ כך שלכל חלוקה עם פרמטר חלוקה קטן מ $\delta$, מתקיים שמרחק סכום הדרבו העליון שלה מ- $0$ קטן מ- $\epsilon$.

כיון שמדובר בפונקציה חיובית, והגבול הנו $0$, צריך להוכיח שלכל חלוקה סכום הדרבו העליון קטן מ- $\epsilon$.

כעת נראה כי לכל מספר טבעי $q$ מספר הנקודות בקטע בהן $R(x)\ge\frac1{q}$ הוא סופי, ונסמן מספר זה ב-$n_q$ .

אכן, הנקודות היחידות המקיימות תנאי זה הן $1,\frac12,\frac13,\frac23,\frac14,\frac24,\frac34,\ldots,\frac1{q},\ldots,\frac{q-1}{q}$ (שימו לב שיתכן שחלק מהשברים הללו אינם מצומצמים ולכן יש אפילו פחות נקודות מאשר ברשימה הזו).

כעת, בהנתן חלוקה $P$ כלשהי, לכל היותר $n_q$ קטעים מכילים נקודות בהן $R\ge\frac1{q}$, ולכן שטח הפונקציה במלבנים המתאימים לחלקים אלה הוא לכל היותר $1$ כפול אורך הקטע.

בשאר הקטעים, גובה הפונקציה חסום על-ידי $\frac1{q}$ .

לכן סכום הדרבו העליון הוא לכל היותר סכום הקטעים משני הסוגים האלו, ויתרה על כך:

$\overline{S}(R,P)\le \frac1{q}\cdot \Big|[0,1]\Big| + n_q\cdot\lambda(P)$

כאשר $\lambda(P)$ הוא אורך הקטע הכי ארוך בחלוקה. בוודאי אורכי הקטעים המכילים את הנקודות הגבוהות קטנים או שווים לו.

בסה"כ, נבחר q כך ש:

$\frac1{q}<\frac{\epsilon}{2}$

ולאחר מכן נבחר $\delta$ כך ש:

$n_q\delta<\frac{\epsilon}{2}$

וכך קיבלנו את שרצינו. $\blacksquare$

חישוב האינטגרל המסוים

קיימות מספר שיטות לחישוב האינטגרל המסוים, כשהנפוצה והשימושית ביותר היא שימוש בנוסחת ניוטון-לייבניץ.