שינויים

'''אינטגרציה בחלקים''' הוא כינוי לנוסחאת לנוסחת האינטגרציה הבאה:

::<math>\int{f'\cdot g}=fgf\cdot g-\int{fgf\cdot g'}</math>

הנוסחא נובעת מיידית מנוסחאת מנוסחת גזירת כפל:::<math>(fgf\cdot g)'=f'\cdot g+g'\cdot f</math>

==דוגמאות==א. בדוגמא זו ניתן לראות שאפשר להעלים גורם אחד על ידי גזירתו. ייתכן ונדרש בדוגמאות מסוג זה לבצע את הפעולה מספר פעמיםהנוסחא נכונה במידה והאינטגרלים מוגדרים, אך בדוגמא זו הסתפקנו בפעם אחת בלבדובפרט עבור <math>f,g</math> בעלות נגזרות רציפות.

(אחרת, אמנם יש קדומה ל- <math>f'\int{xcos(x)}=?cdot g+g'\cdot f</math>, אבל לא בהכרח ל- <math>f'\cdot g</math> ו- <math>g'\cdot f</math> בנפרד.)

נסמן <math>f'=cos(x),g=x</math>דוגמאות==א. בדוגמא זו ניתן לראות שאפשר להעלים גורם אחד על-ידי גזירתו. יתכן ונדרש בדוגמאות מסוג זה לבצע את הפעולה מספר פעמים, אך בדוגמא זו הסתפקנו בפעם אחת בלבד.

ולכן <math>f=sin\int x\cos(x),g'dx=1?</math>

::ולכן <math>\int{xcos(x)}f=xsin(x)-\int{sin(x)}\ ,\ g'=xsin(x)+cos(x)+C1</math>

ב. '''חזרה למקורות''' - בדוגמא הבאה לא ניתן להעלים גורם על -ידי גזירה, אולם עדיין ניתן להעזר באינטגרציה בחלקים לפתרון הבעייהחזרה לאינטגרל המקורי פותרת לנו את הבעיה.

<math>\int{e^xcosx\cos(x)}dx=?</math>

נסמן  ::<math>I=\int{e^xcosx\cos(x)}dx</math>

::<math>I=e^xcosx\cos(x)+\int{e^xsinx\sin(x)}dx=e^xcosx\cos(x)+e^xsinx\sin(x)-\int{e^xcosx\cos(x)}dx=e^x\Bigbig(\sin(x)+\cos(x)\Bigbig)-I</math>

::<math>2I=e^x\Bigbig(\sin(x)+\cos(x)\Bigbig)</math>

::<math>\int{e^xcosx\cos(x)}dx=I=\frac{e^x\Bigbig(\sin(x)+\cos(x)\Bigbig)}{2}+C</math>

ג. בדוגמא הבאה נראה שניתן להתייחס לכפל בקבוע נסמן <math>f'=1 כנגזרת של הפונקציה \ ,\ g=\sqrt{a^2-x ובכך "להמציא" גורם שיעזור לנו בפתרון הבעייה באמצעות אינטגרציה בחלקים.^2}</math>

ולכן <math>f=x\ ,\ g'=-\intfrac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}=?</math>

ולכן :<math>f=\int\sqrt{a^2-x,g'^2}dx=x\fracsqrt{a^2-x^2}+\int\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=</math>

נפעיל את נוסחאת אינטגרציה בחלקים:<math>=x\sqrt{a^2-x^2}+\int\frac{x^2-a^2+a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=</math>

::<math>\int{\sqrt{a^2-x^2}}=x\sqrt{a^2-x^2}+\int{\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}}=</math> ::<math>=x\sqrt{a^2-x^2}+\int{\frac{x^2-a^2+a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}}=</math> ::<math>=x\sqrt{a^2-x^2}-\int{\sqrt{a^2-x^2}}dx+a^2\int{\frac{1dx}{\sqrt{a^2-x^2}}}=</math>

::<math>2\int{\sqrt{a^2-x^2}}dx=x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\int{\frac{1dx}{\sqrt{a^2-x^2}}}</math> 

כאשר את האינטגרל האחרון נלמד ב[[שיטת ההצבה]].