שינויים
/* שאלה 1 */
הראנו שהסדרה היא קושי ולכן מתכנסת.
'''ב.''' אםהטור <math>\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}</math> אז קיימת סדרה <math>\left \{a_{n} \right \}_{n=1}^{\infty }</math> המקיימת לכל n <math>|a_{n+1}-a_{n}|<b_{_{n}}</math> וגם מתבדרת. '''הוכחה:''' נביט בסדרת הסכומים החלקיים של הטור (עם שינוי קל): <math>S_{n}=\sum_{i=1}^{n-1}b_{i}</math> ונגדיר <math>S_{1}=0</math> הטור <math>\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}</math> מתבדר ולכן לפי ההגדרה (כי הוספת איבר אחד בהתחלה אינה משפיעה על התכנסות או התבדרות הסדרה) הסדרה מתבדרת. כמו כן, קל לראות כי מתקיים התנאי: <math>|S_{n+1}-S_{n}|=|\sum_{i=1}^{n}b_{i}-\sum_{i=1}^{n-1}b_{i}|=|b_{n}|=b_{n}</math> מ.ש.ל == שאלה 2 == בדוק התכנסות והתכנסות בהחלט של הטורים הבאים: '''א.''' <math>\sum\frac{(-1)^{n}ln(n)}{n}</math> '''פתרון:''' ראשית נבודק התכנסות בהחלט: <math>\sum|\frac{(-1)^{n}ln(n)}{n}|=\sum\frac{ln(n)}{n}</math> <math>1<ln(n)</math> לכל <math>3\leq n</math> ולכן לכל <math>n</math> שכזה מתקיים: <math>\frac{1}{n}\leq \frac{ln(n)}{n}</math> ולפי מבחן ההשוואה הראשון הטור מכיוון שהטור ההרמוני מתבדר אז <math>\sum\frac{ln(n)}{n}</math> מתבדר. ידוע <math>\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{ln(n)}{n}=0</math> (ואם אתם לא מאמינים לי אפשר להוכיח את זה עם לפיטל) ולכן מספיק להוכיח שהסדרה מונוטונית יורדת כדי להסיק התכנסות בתנאי לפי לייבניץ': נביט בפונקציה <math>f(x)=\frac{ln(x)}{x}</math>, מספיק להראות ש<math>f'(x)\leq 0</math> כאשר <math>x\geq 3</math>. <math>f'(x)=\frac{1-ln(x)}{x^2}</math> וקל לראות שהתנאי לעיל מתקיים עבור <math>x>e</math> ובפרט עבור <math>x>3</math>.
