שינויים
/* שאלה 5 */
== שאלה 5 ==
<math>f(x):=2-x</math> כאשר <math>x\in \mathbb{Q}</math>
<math>f(x):=\frac{1}{x}</math> כאשר <math>x\notin \mathbb{Q}</math>
צריך למצוא עבור אילו ערכים הפונקציה רציפה ועבור אילו ערכים הפונקציה גזירה.
'''פתרון:''' נתחיל עם הנקודות עבורן הפונקציה רציפה, שכן זהו תנאי הכרחי לגזירות.
הנקודות בהן הפונקציה רציפה הן הנקודות בהן מתקיים השוויון: <math>2-x=\frac{1}{x}</math>
בכל שאר הנקודות, ניתן לבנות שתי סדרות: אחת של רציונאליים ואחת של אי רציונאליים שתמונותיהן יתכנסו לשני ערכים שונים ולכן היא אינה רציפה בהן.
במקרה של שוויון, כל סדרה של רציונליים, אי רציונאליים או שילוב שלהם תתכנס ל<math>f(x)</math> בין אם הוא רציונאלי או לא.
נפתור את המשוואה ונקבל תוצאה יחידה: <math>x=1</math>, '''בנקודה זו הפונקציה רציפה.'''
כעת נבדוק האם היא גזירה בנקודה זו, אם הפונקציה גזירה אזי בהכרח <math>(2-x)'(1)=(\frac{1}{x})'(1)</math> מנימוקים דומים, כלומר:
מכיוון שהגבולות <math>\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\frac{1}{x}-1}{x-1},\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(2-x)-1}{x-1}\in \mathbb{R}</math>
אז לפי היינה התמונות של כל הסדרות שמתכנסות ל1 יתכנסו לגבולות האלו. אם הפונקציה גזירה, בהכרח הגבול קיים ולכן כל הסדרות התמונות חייבות להתכנס לאותה נקודה. על כל פנים, נחזור לשוויון שהצגנו לעיל:
