שינויים

== שאלה 1 ==יהי <math>\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}</math> טור חיוביאתם מוזמנים לעזור בפתרון, לשנות, לתקן ולהעיר הערות.

'''א.''' הראה שאם <math>\left \{a_{n} \right \}_{n==שאלה 1}^{\infty }</math> סדרה המקיימת לכל n <math>|a_{n+1}-a_{n}|<b_{_{n}}</math> וכן ==יהי <math>\sum_sum\limits_{n=1}^{\infty }b_{n}<\infty b_n</math> אזי הסדרה מתכנסתטור חיובי.

'''הוכחה:א.'''הראה שאם <math>\{a_n\}_{n=1}^\infty</math> סדרה המקיימת לכל <math>n</math> : <math>\Big|a_{n+1}-a_n\Big|<b_n</math> וכן <math>\sum\limits_{n=1}^\infty b_n<\infty</math> אזי הסדרה מתכנסת.

;הוכחהאם הטור מתקיים התנאים הנ"ל כלומר: <math>\sum_sum\limits_{n=1}^{\infty }b_{n}b_n<\infty </math> וגם <math>\sum_sum\limits_{n=1}^{\infty }b_{n}b_n</math> טור חיובי, אזי הטור מתכנס. שכן סדרת הסכומים החלקיים שלו היא מונוטונית עולה וחסומה מילעל מלעיל ולכן מתכנסת.

נוכיח כי הסדרה הינה הנה קושי וזאת באמצעות הקריטריון של קושי להתכנסות סדרות.

יהי <math>\varepsilon epsilon>0</math>. לפי קריטריון קושי קיים <math>M\in \mathbb{N}</math> כך שלכל <math>p\in \mathbb{N} </math> מתקיים <math>\left|\displaystyle\sum_{ik=M}^{M+p}b_{i}b_k\right|<\varepsilon epsilon</math>.

יהיו <math>n,m>M</math>, אזי:

<math>|a_\begin{nalign}|a_n-a_{m}a_m|&=\bigg|a_{n}a_n-a_{n-1}+a_{n-1} - .... \cdots+ a_{m+1}-a_{m}a_m\bigg|\leq \&\le\Big|a_{n}a_n-a_{n-1}\Big| + \Big|a_{n-1}-a_{n-2}\Big| +....\cdots+\Big|a_{m+1}-a_{m}a_m\Big|\leq \&\le b_{n-1}+b_{n-2}+...\cdots+b_{m}b_m=\sum_{ik=m}^{n-1}b_{i}b_k\leq le\sum_{ik=M}^{n-1}b_{i}b_k<\varepsilon epsilon\end{align}</math>

;דרך אחרתנשים לב כי <math>a_0=0,a_n=\sum\limits_{k=0}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)</math> , וכיון שהטור הזה מתכנס בהחלט כי בהחלט הוא נשלט על-ידי <math>\sum b_n</math> כך גם <math>a_n</math> מתכנסת כי התכנסות של טור שקולה להתכנסות של הסכומים החלקיים. '''ב.''' אםהטור <math>\sum\limits_{n=1}^\infty b_n</math> אז קיימת סדרה <math>\{a_n\}_{n=1}^\infty</math> המקיימת לכל <math>n</math> : <math>\Big|a_{n+1}-a_n\Big|<b_n</math> וגם מתבדרת. ;הוכחהנביט בסדרת הסכומים החלקיים של הטור (עם שינוי קל): <math>S_n=\sum\limits_{k=1}^{n-1}b_k</math> ונגדיר <math>S_1=0</math> הטור <math>\sum\limits_{n=1}^\infty b_n</math> מתבדר ולכן לפי ההגדרה (כי הוספת איבר אחד בהתחלה אינה משפיעה על התכנסות או התבדרות הסדרה) הסדרה מתבדרת. כמו כן, קל לראות כי מתקיים התנאי: <math>\Big|S_{n+1}-S_n\Big|=\left|\sum\limits_{k=1}^n b_k-\sum\limits_{k=1}^{n-1}b_k\right|=|b_n|=b_n</math> <math>\blacksquare</math> ;תיקוןתהי <math>S_n</math> סדרת הסכומים החלקיים של הטור <math>\sum (b_n-n^2)</math> הטור מתבדר כהפרש של טור מתבדר בטור מתכנס מתקיים <math>\Big|s_n-s_{n-1}\Big|=b_n-n^2<b_n</math> ==שאלה 2==בדוק התכנסות והתכנסות בהחלט של הטורים הבאים:  '''א.''' <math>\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^n\cdot\dfrac{\ln(n)}{n}</math> ;פתרוןראשית נבדוק התכנסות בהחלט: <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left|(-1)^n\cdot\dfrac{\ln(n)}{n}\right|=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac{\ln(n)}{n}</math> <math>\ln(n)>1</math> לכל <math>n\ge3</math> ולכן לכל <math>n</math> שכזה מתקיים: <math>\frac1n\le\frac{\ln(n)}{n}</math> ולפי מבחן ההשוואה הראשון הטור מכיון שהטור ההרמוני מתבדר אז <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac{\ln(n)}{n}</math> מתבדר. ידוע <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\ln(n)}{n}=0</math> (ואם אתם לא מאמינים לי אפשר להוכיח את זה עם לופיטל) ולכן מספיק להוכיח שהסדרה מונוטונית יורדת כדי להסיק התכנסות בתנאי לפי לייבניץ: נביט בפונקציה <math>f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}</math> , מספיק להראות כי <math>f'(x)\le0</math> כאשר <math>x\ge3</math> . <math>f'(x)=\frac{1-\ln(x)}{x^2}</math> וקל לראות שהתנאי לעיל מתקיים עבור <math>x\ge e</math> ובפרט עבור <math>x\ge3</math> .  '''ב.''' <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\cdot\sin\left(\tfrac{1}{n^2}\right)</math> ;פתרוןנראה התכנסות בהחלט לפי מבחן ההשוואה הגבולי <math>\frac{\sin\left(\frac{1}{n^2}\right)}{\frac1{n^2}}\to1</math> ולכן הטורים חברים. מכיון <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}</math> מתכנס אז גם <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\sin\left(\tfrac{1}{n^2}\right)</math> . ולכן הטור מתכנס בהחלט.  '''ג.''' <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\cdot\frac{(2n)!}{n^{2n}}</math> ;פתרון נוכיח התכנסות בהחלט לפי מבחן המנה של ד'לאמבר <math>\begin{align}\dfrac{\dfrac{(2n+2)!}{(n+1)^{2n+2}}}{\dfrac{(2n)!}{n^{2n}}}&=\dfrac{\dfrac{(2n+2)!}{(n+1)^{2n+2}}}{\dfrac{(2n)!\cdot n^2}{n^{2n+2}}}=\frac{(2n+2)!}{(2n)!\cdot n^2}\cdot\left(\frac{n}{n+1}\right)^{2n+2}=\frac{2(n+1)(2n+1)}{n^2}\cdot\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{2n+2}\\&=\frac{2(n+1)(2n+1)}{n^2}\cdot\left(\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}\right)^2\to\frac{4}{e^2}<1\end{align}</math> ולכן הטור מתכנס בהחלט! ==שאלה 3==ציטוט משפטים ==שאלה 4==יש לבדוק האם הפונקציות הבאות רבמ"ש בקטעים הנתונים:  '''א.''' <math>f(x)=x\sin\left(\tfrac{1}{x^2}\right)</math> בקטע <math>(0,1)</math> נראה שהגבולות בקצוות הקטע סופיים ולכן הפונקציה רבמ"ש: <math>\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}x\sin\left(\tfrac{1}{x^2}\right)=0</math> , חסומה כפול 0. <math>\lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^-}x\sin\left(\tfrac{1}{x^2}\right)=f(1)=\sin(1)</math> . מזאת מכיון שהפונקציה היא מנה, הרכבה וכפל של פונקציות רציפות.  '''ב.''' <math>f(x)</math> מסעיף א' בקרן <math>(1,\infty)</math> בדומה לסעיף הקודם, נראה שהגבולות בקצוות הקטע סופיים ולכן הפונקציה רבמ"ש: <math>\lim_{x\to\infty}x\sin\left(\tfrac{1}{x^2}\right)=\lim_{x\to\infty}x^2\sin\left(\tfrac{1}{x^2}\right)\cdot\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=1\cdot 0=0</math> <math>\lim_{x\to1^+}f(x)=\lim_{x\to1^+}x\sin\left(\tfrac{1}{x^2}\right)=f(1)=\sin(1)</math> . מזאת מכיון שהפונקציה היא מנה, הרכבה וכפל של פונקציות רציפות.  '''ג.''' <math>g(x)=\sin(x^2)</math> רבמ"ש בקרן <math>(0,\infty)</math> נניח בשלילה שהפונקציה רבמ"ש. הפונקציה <math>h(x)=\arcsin(x)</math> רציפה בתחום <math>[-1,1]</math> ולכן רבמ"ש בו. מכיון שהתחום <math>[-1,1]</math> הנו התמונה של <math>g</math> , ההרכבה של הפונקציות רבמ"ש (לפי משפט). לכן <math>(h\circ g)(x)=\arcsin\big(\sin(x^2)\big)=x^2</math> רבמ"ש, בסתירה להוכחה מהתירגול. ;פתרון נוסף (עם סדרות) נגדיר את שתי הסדרות הבאות:  <math>x_n=\sqrt{\frac{3\pi}{2}+2\pi n}</math> ואת הסדרה <math>y_n=\sqrt{\frac{\pi}{2}+2\pi n}</math> ונמשיך מכאן... ==שאלה 5==<math>f(x)=\begin{cases}2-x&x\in\Q\\\dfrac{1}{x}&x\notin\Q\end{cases}</math> צריך למצוא עבור אילו ערכים הפונקציה רציפה ועבור אילו ערכים הפונקציה גזירה.  ;פתרוןנתחיל עם הנקודות עבורן הפונקציה רציפה, שכן זהו תנאי הכרחי לגזירות. הנקודות בהן הפונקציה רציפה הן הנקודות בהן מתקיים השוויון: <math>2-x=\frac{1}{x}</math> בכל שאר הנקודות, ניתן לבנות שתי סדרות: אחת של רציונאליים ואחת של אי-רציונאליים שתמונותיהן יתכנסו לשני ערכים שונים ולכן היא אינה רציפה בהן. במקרה של שוויון, כל סדרה של רציונאליים, אי-רציונאליים או שילוב שלהם תתכנס ל- <math>f(x)</math> בין אם הוא רציונאלי או לא. נפתור את המשוואה ונקבל תוצאה יחידה: <math>x=1</math> , '''בנקודה זו הפונקציה רציפה.''' כעת נבדוק האם היא גזירה בנקודה זו, אם הפונקציה גזירה אזי בהכרח <math>(2-x)'(1)=(\frac1{x})'(1)</math> מנימוקים דומים, כלומר: מכיון שהגבולות <math>\lim\limits_{x\to1}\dfrac{\frac{1}{x}-1}{x-1},\lim\limits_{x\to1}\dfrac{(2-x)-1}{x-1}\in\R</math>  אז לפי היינה התמונות של כל הסדרות שמתכנסות ל-1 יתכנסו לגבולות האלו. אם הפונקציה גזירה, בהכרח הגבול קיים ולכן כל הסדרות התמונות חייבות להתכנס לאותה נקודה. על כל פנים, נחזור לשוויון שהצגנו לעיל: <math>(2-x)'(1)=-1=-\frac{1}{1^2}=\left(-\frac{1}{x^2}\right)(1)=\left(\frac{1}{x}\right)'(1)</math> '''ולכן הפונקציה גזירה בנקודה''' <math>x=1</math> . ==שאלה 6=='''א.''' <math>\begin{align}\frac{d}{dx}\left(x^{\cos\big(e^{x^2}\big)}\right)&=\frac{d}{dx}\left(e^{\cos\big(e^{x^2}\big)\cdot\ln(x)}\right)\\&=e^{\cos\big(e^{x^2}\big)\cdot\ln(x)}\cdot\frac{d}{dx}\left(\cos\big(e^{x^2}\big)\cdot\ln(x)\right)=x^{\cos\big(e^{x^2}\big)}\cdot\left(\frac{\cos\big(e^{x^2}\big)}{x}-2x\cdot e^{x^2}\cdot\ln(x)\cdot\sin\big(e^{x^2}\big)\right)\end{align}</math> '''ב.''' <math>\begin{align}\frac{d}{dx}\left(\arctan\left(\frac{\ln(x)}{1+x^2}\right)\right)&=\dfrac{\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{\ln(x)}{1+x^2}\right)}{1+\left(\dfrac{\ln(x)}{1+x^2}\right)^2}\\&=\dfrac{\dfrac{\dfrac{1+x^2}{x}-2x\cdot\ln(x)}{(1+x^2)^2}}{1+\left(\dfrac{\ln(x)}{1+x^2}\right)^2}=\dfrac{\dfrac{1+x^2-4x^2\ln(x)}{x(1+x^2)^2}}{\dfrac{(1+x^2)^2+\ln^2(x)}{(1+x^2)^2}}=\frac{1+x^2\big(1-4\ln(x)\big)}{x\big((1+x^2)^2+\ln^2(x)\big)}\end{align}</math> '''ג.''' <math>\Big(x^{-n}+n^{-x}\Big)'=-nx^{-n-1}-\ln(n)\cdot n^{-x}</math> ==שאלה 7==