שינויים
[[קטגוריה:פתרון מבחנים]][[קטגוריה:אינפי]]
קישור לבחינה עצמה: [http://u.cs.biu.ac.il/~sheinee/tests/math/88132/4ef1a82d352a5.pdf המבחן]
'''הוכחה:א.'''הראה שאם <math>\{a_n\}_{n=1}^\infty</math> סדרה המקיימת לכל <math>n</math> : <math>\Big|a_{n+1}-a_n\Big|<b_n</math> וכן <math>\sum\limits_{n=1}^\infty b_n<\infty</math> אזי הסדרה מתכנסת.
;הוכחהאם הטור מתקיים התנאים הנ"ל כלומר: <math>\sum_sum\limits_{n=1}^{\infty }b_{n}b_n<\infty </math> וגם <math>\sum_sum\limits_{n=1}^{\infty }b_{n}b_n</math> טור חיובי, אזי הטור מתכנס. שכן סדרת הסכומים החלקיים שלו היא מונוטונית עולה וחסומה מילעל מלעיל ולכן מתכנסת.
נוכיח כי הסדרה הינה הנה קושי וזאת באמצעות הקריטריון של קושי להתכנסות סדרות.
יהי <math>\varepsilon epsilon>0</math>. לפי קריטריון קושי קיים <math>M\in \mathbb{N}</math> כך שלכל <math>p\in \mathbb{N} </math> מתקיים <math>\left|\displaystyle\sum_{ik=M}^{M+p}b_{i}b_k\right|<\varepsilon epsilon</math>.
יהיו <math>n,m>M</math>, אזי:
<math>|a_\begin{nalign}|a_n-a_{m}a_m|&=\bigg|a_{n}a_n-a_{n-1}+a_{n-1} - .... \cdots+ a_{m+1}-a_{m}a_m\bigg|\leq \&\le\Big|a_{n}a_n-a_{n-1}\Big| + \Big|a_{n-1}-a_{n-2}\Big| +....\cdots+\Big|a_{m+1}-a_{m}a_m\Big|\leq \&\le b_{n-1}+b_{n-2}+...\cdots+b_{m}b_m=\sum_{ik=m}^{n-1}b_{i}b_k\leq le\sum_{ik=M}^{n-1}b_{i}b_k<\varepsilon epsilon\end{align}</math>
הראנו שהסדרה היא קושי ולכן מתכנסת.
;דרך אחרת
נשים לב כי <math>a_0=0,a_n=\sum\limits_{k=0}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)</math> , וכיון שהטור הזה מתכנס בהחלט כי בהחלט הוא נשלט על-ידי <math>\sum b_n</math> כך גם <math>a_n</math> מתכנסת כי התכנסות של טור שקולה להתכנסות של הסכומים החלקיים.
'''ב.''' אם הטור <math>\sum_sum\limits_{n=1}^{\infty }b_{n}b_n</math> אז קיימת סדרה <math>\left \{a_{n} \right a_n\}_{n=1}^{\infty }</math> המקיימת לכל <math>n </math>: <math>\Big|a_{n+1}-a_{n}a_n\Big|<b_{_{n}}b_n</math> וגם מתבדרת.
==שאלה 2==
בדוק התכנסות והתכנסות בהחלט של הטורים הבאים:
'''א.''' <math>\displaystyle\sum\fraclimits_{n=1}^\infty(-1)^{n}\cdot\dfrac{\ln(n)}{n}</math>
ידוע <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\ln(n)}{n}=0</math> (ואם אתם לא מאמינים לי אפשר להוכיח את זה עם לופיטל) ולכן מספיק להוכיח שהסדרה מונוטונית יורדת כדי להסיק התכנסות בתנאי לפי לייבניץ:
נביט בפונקציה <math>1<f(x)=\dfrac{\ln(nx)}{x}</math> לכל , מספיק להראות כי <math>3\leq n</math> ולכן לכל <math>n</math> שכזה מתקיים: <math>\frac{1}{n}\leq \frac{lnf'(nx)}{n}\le0</math> ולפי מבחן ההשוואה הראשון הטור מכיוון שהטור ההרמוני מתבדר אז כאשר <math>x\sum\frac{ln(n)}{n}ge3</math> מתבדר.
;פתרון
נראה התכנסות בהחלט לפי מבחן ההשוואה הגבולי
<math>\frac{\sin\left(\frac{1}{n^2}\right)}{\frac{1}frac1{n^2}}\rightarrow 1to1</math> ולכן הטורים חברים.
ולכן הטור מתכנס בהחלט.
'''ג.''' <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\cdot\frac{(2n)!}{n^{2n}}</math>
נוכיח התכנסות בהחלט לפי מבחן המנה של ד'לאמבר
<math>\fracbegin{align}\fracdfrac{\dfrac{(2n+2)!}{(n+1)^{2n+2}}}{\fracdfrac{(2n)!}{n^{2n}}}&=\fracdfrac{\fracdfrac{(2n+2)!}{(n+1)^{2n+2}}}{\fracdfrac{(2n)!\cdot n^2}{n^{2n+2}}}=\frac{(2n+2)!}{(2n)!\cdot n^2}\cdot \left(\frac{n}{n+1}\right)^{2n+2}=\frac{2(2nn+21)(2n+1)}{n^2}\cdot\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{2n+2}\\&=\frac{2(2nn+21)(2n+1)}{n^2}\cdot \left(\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}\right)^2\rightarrow to\frac{4}{e^2}<1\end{align}</math>
ולכן הטור מתכנס בהחלט!
== שאלה 3 ==
ציטוט משפטים
== שאלה 4 ==
יש לבדוק האם הפונקציות הבאות רבמ"ש בקטעים הנתונים:
'''א.''' <math>f(x)=xsinx\sin\left(\fractfrac{1}{x^2}\right)</math> בקטע <math>(0,1)</math>
נראה שהגבולות בקצוות הקטע סופיים ולכן הפונקציה רבמ"ש:
<math>\lim_{x\rightarrow 0to0^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0to0^{+}}xsinx\sin\left(\fractfrac{1}{x^2}\right)=0</math>, חסומה כפול 0.
<math>\lim_{x\rightarrow 1to1^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1to1^{-}}xsinx\sin\left(\fractfrac{1}{x^2}\right)=f(1)=\sin(1)</math>. מזאת מכיוון מכיון שהפונקציה היא מנה, הרכבה וכפל של פונקציות רציפות.
'''ב.''' <math>f(x)</math> מסעיף א' בקרן <math>(1,\infty )</math>
בדומה לסעיף הקודם, נראה שהגבולות בקצוות הקטע סופיים ולכן הפונקציה רבמ"ש:
<math>\lim_{x\rightarrow to\infty }xsinx\sin\left(\fractfrac{1}{x^2}\right)=\lim_{x\rightarrow to\infty }x^2sin2\sin\left(\fractfrac{1}{x^2}\right)\cdot \lim_{x\rightarrow to\infty }\frac{1}{x}=1\cdot 0=0</math>
<math>\lim_{x\rightarrow 1to1^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1to1^{+}}xsinx\sin\left(\fractfrac{1}{x^2}\right)=f(1)=\sin(1)</math>. מזאת מכיוון מכיון שהפונקציה היא מנה, הרכבה וכפל של פונקציות רציפות.
'''ג.''' <math>g(x)=\sin(x^2)</math> רבמ"ש בבקרן <math>(0,\infty )</math>
נניח בשלילה שהפונקציה רבמ"ש. הפונקציה <math>h(x)=\arcsin(x)</math> רציפה בתחום <math>[-1,1]</math> ולכן רבמ"ש בו.
לכן <math>(h\circ g)(x)=\arcsin\big(\sin(x^2)\big)=x^2</math> רבמ"ש, בסתירה להוכחה מהתירגול.
נגדיר את שתי הסדרות הבאות:
<math>x_{n}x_n=\sqrt{\frac{3\pi }{2}+2\pi n}</math> ואת הסדרה <math>y_{n}y_n=\sqrt{\frac{\pi }{2}+2\pi n}</math> ונמשיך מכאן... ==שאלה 5==<math>f(x)=\begin{cases}2-x&x\in\Q\\\dfrac{1}{x}&x\notin\Q\end{cases}</math> צריך למצוא עבור אילו ערכים הפונקציה רציפה ועבור אילו ערכים הפונקציה גזירה. ;פתרוןנתחיל עם הנקודות עבורן הפונקציה רציפה, שכן זהו תנאי הכרחי לגזירות. הנקודות בהן הפונקציה רציפה הן הנקודות בהן מתקיים השוויון: <math>2-x=\frac{1}{x}</math> בכל שאר הנקודות, ניתן לבנות שתי סדרות: אחת של רציונאליים ואחת של אי-רציונאליים שתמונותיהן יתכנסו לשני ערכים שונים ולכן היא אינה רציפה בהן. במקרה של שוויון, כל סדרה של רציונאליים, אי-רציונאליים או שילוב שלהם תתכנס ל- <math>f(x)</math> בין אם הוא רציונאלי או לא. נפתור את המשוואה ונקבל תוצאה יחידה: <math>x=1</math> , '''בנקודה זו הפונקציה רציפה.''' כעת נבדוק האם היא גזירה בנקודה זו, אם הפונקציה גזירה אזי בהכרח <math>(2-x)'(1)=(\frac1{x})'(1)</math> מנימוקים דומים, כלומר: מכיון שהגבולות <math>\lim\limits_{x\to1}\dfrac{\frac{1}{x}-1}{x-1},\lim\limits_{x\to1}\dfrac{(2-x)-1}{x-1}\in\R</math> אז לפי היינה התמונות של כל הסדרות שמתכנסות ל-1 יתכנסו לגבולות האלו. אם הפונקציה גזירה, בהכרח הגבול קיים ולכן כל הסדרות התמונות חייבות להתכנס לאותה נקודה. על כל פנים, נחזור לשוויון שהצגנו לעיל: <math>(2-x)'(1)=-1=-\frac{1}{1^2}=\left(-\frac{1}{x^2}\right)(1)=\left(\frac{1}{x}\right)'(1)</math> '''ולכן הפונקציה גזירה בנקודה''' <math>x=1</math> . ==שאלה 6=='''א.''' <math>\begin{align}\frac{d}{dx}\left(x^{\cos\big(e^{x^2}\big)}\right)&=\frac{d}{dx}\left(e^{\cos\big(e^{x^2}\big)\cdot\ln(x)}\right)\\&=e^{\cos\big(e^{x^2}\big)\cdot\ln(x)}\cdot\frac{d}{dx}\left(\cos\big(e^{x^2}\big)\cdot\ln(x)\right)=x^{\cos\big(e^{x^2}\big)}\cdot\left(\frac{\cos\big(e^{x^2}\big)}{x}-2x\cdot e^{x^2}\cdot\ln(x)\cdot\sin\big(e^{x^2}\big)\right)\end{align}</math> '''ב.''' <math>\begin{align}\frac{d}{dx}\left(\arctan\left(\frac{\ln(x)}{1+x^2}\right)\right)&=\dfrac{\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{\ln(x)}{1+x^2}\right)}{1+\left(\dfrac{\ln(x)}{1+x^2}\right)^2}\\&=\dfrac{\dfrac{\dfrac{1+x^2}{x}-2x\cdot\ln(x)}{(1+x^2)^2}}{1+\left(\dfrac{\ln(x)}{1+x^2}\right)^2}=\dfrac{\dfrac{1+x^2-4x^2\ln(x)}{x(1+x^2)^2}}{\dfrac{(1+x^2)^2+\ln^2(x)}{(1+x^2)^2}}=\frac{1+x^2\big(1-4\ln(x)\big)}{x\big((1+x^2)^2+\ln^2(x)\big)}\end{align}</math> '''ג.''' <math>\Big(x^{-n}+n^{-x}\Big)'=-nx^{-n-1}-\ln(n)\cdot n^{-x}</math> ==שאלה 7==