שינויים
[[קטגוריה:פתרון מבחנים]][[קטגוריה:אינפי]]
קישור לבחינה עצמה: [http://u.cs.biu.ac.il/~sheinee/tests/math/88132/4ef1a82d352a5.pdf המבחן]
אתם מוזמנים לעזור בפתרון, לשנות, לתקן ולהעיר הערות.
== שאלה 1 ==יהי <math>\sum_sum\limits_{n=1}^{\infty }b_{n}b_n</math> טור חיובי.
'''א.''' הראה שאם <math>\left \{a_{n} \right a_n\}_{n=1}^{\infty }</math> סדרה המקיימת לכל <math>n </math> : <math>\Big|a_{n+1}-a_{n}a_n\Big|<b_{_{n}}b_n</math> וכן <math>\sum_sum\limits_{n=1}^{\infty }b_{n}b_n<\infty </math> אזי הסדרה מתכנסת.
הראנו שהסדרה היא קושי ולכן מתכנסת.
;דרך אחרת
נשים לב כי <math>a_0=0,a_n=\sum\limits_{k=0}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)</math> , וכיון שהטור הזה מתכנס בהחלט כי בהחלט הוא נשלט על-ידי <math>\sum b_n</math> כך גם <math>a_n</math> מתכנסת כי התכנסות של טור שקולה להתכנסות של הסכומים החלקיים.
'''ב.''' אם הטור <math>\sum_sum\limits_{n=1}^{\infty }b_{n}b_n</math> אז קיימת סדרה <math>\left \{a_{n} \right a_n\}_{n=1}^{\infty }</math> המקיימת לכל <math>n </math>: <math>\Big|a_{n+1}-a_{n}a_n\Big|<b_{_{n}}b_n</math> וגם מתבדרת.
==שאלה 2==
בדוק התכנסות והתכנסות בהחלט של הטורים הבאים:
'''א.''' <math>\displaystyle\sum\fraclimits_{n=1}^\infty(-1)^{n}\cdot\dfrac{\ln(n)}{n}</math>
ידוע <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\ln(n)}{n}=0</math> (ואם אתם לא מאמינים לי אפשר להוכיח את זה עם לופיטל) ולכן מספיק להוכיח שהסדרה מונוטונית יורדת כדי להסיק התכנסות בתנאי לפי לייבניץ:
נביט בפונקציה <math>1<f(x)=\dfrac{\ln(nx)}{x}</math> לכל , מספיק להראות כי <math>3\leq n</math> ולכן לכל <math>n</math> שכזה מתקיים: <math>\frac{1}{n}\leq \frac{lnf'(nx)}{n}\le0</math> ולפי מבחן ההשוואה הראשון הטור מכיוון שהטור ההרמוני מתבדר אז כאשר <math>x\sum\frac{ln(n)}{n}ge3</math> מתבדר.
;פתרון
נראה התכנסות בהחלט לפי מבחן ההשוואה הגבולי
<math>\frac{\sin\left(\frac{1}{n^2}\right)}{\frac{1}frac1{n^2}}\rightarrow 1to1</math> ולכן הטורים חברים.
ולכן הטור מתכנס בהחלט.
'''ג.''' <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\cdot\frac{(2n)!}{n^{2n}}</math>
נוכיח התכנסות בהחלט לפי מבחן המנה של ד'לאמבר
<math>\fracbegin{align}\fracdfrac{\dfrac{(2n+2)!}{(n+1)^{2n+2}}}{\fracdfrac{(2n)!}{n^{2n}}}&=\fracdfrac{\fracdfrac{(2n+2)!}{(n+1)^{2n+2}}}{\fracdfrac{(2n)!\cdot n^2}{n^{2n+2}}}=\frac{(2n+2)!}{(2n)!\cdot n^2}\cdot \left(\frac{n}{n+1}\right)^{2n+2}=\frac{2(2nn+21)(2n+1)}{n^2}\cdot\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{2n+2}\\&=\frac{2(2nn+21)(2n+1)}{n^2}\cdot \left(\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}\right)^2\rightarrow to\frac{4}{e^2}<1\end{align}</math>
ולכן הטור מתכנס בהחלט!
== שאלה 3 ==
ציטוט משפטים
== שאלה 4 ==
יש לבדוק האם הפונקציות הבאות רבמ"ש בקטעים הנתונים:
'''א.''' <math>f(x)=xsinx\sin\left(\fractfrac{1}{x^2}\right)</math> בקטע <math>(0,1)</math>
נראה שהגבולות בקצוות הקטע סופיים ולכן הפונקציה רבמ"ש:
<math>\lim_{x\rightarrow 0to0^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0to0^{+}}xsinx\sin\left(\fractfrac{1}{x^2}\right)=0</math>, חסומה כפול 0.
<math>\lim_{x\rightarrow 1to1^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1to1^{-}}xsinx\sin\left(\fractfrac{1}{x^2}\right)=f(1)=\sin(1)</math>. מזאת מכיוון מכיון שהפונקציה היא מנה, הרכבה וכפל של פונקציות רציפות.
'''ב.''' <math>f(x)</math> מסעיף א' בקרן <math>(1,\infty )</math>
בדומה לסעיף הקודם, נראה שהגבולות בקצוות הקטע סופיים ולכן הפונקציה רבמ"ש:
<math>\lim_{x\rightarrow to\infty }xsinx\sin\left(\fractfrac{1}{x^2}\right)=\lim_{x\rightarrow to\infty }x^2sin2\sin\left(\fractfrac{1}{x^2}\right)\cdot \lim_{x\rightarrow to\infty }\frac{1}{x}=1\cdot 0=0</math>
<math>\lim_{x\rightarrow 1to1^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1to1^{+}}xsinx\sin\left(\fractfrac{1}{x^2}\right)=f(1)=\sin(1)</math>. מזאת מכיוון מכיון שהפונקציה היא מנה, הרכבה וכפל של פונקציות רציפות.
'''ג.''' <math>g(x)=\sin(x^2)</math> רבמ"ש בבקרן <math>(0,\infty )</math>
נניח בשלילה שהפונקציה רבמ"ש. הפונקציה <math>h(x)=\arcsin(x)</math> רציפה בתחום <math>[-1,1]</math> ולכן רבמ"ש בו.
לכן <math>(h\circ g)(x)=\arcsin\big(\sin(x^2)\big)=x^2</math> רבמ"ש, בסתירה להוכחה מהתירגול.
נגדיר את שתי הסדרות הבאות:
<math>x_{n}x_n=\sqrt{\frac{3\pi }{2}+2\pi n}</math> ואת הסדרה <math>y_{n}y_n=\sqrt{\frac{\pi }{2}+2\pi n}</math> ונמשיך מכאן... ==שאלה 5==<math>f(x)=\begin{cases}2-x&x\in\Q\\\dfrac{1}{x}&x\notin\Q\end{cases}</math> צריך למצוא עבור אילו ערכים הפונקציה רציפה ועבור אילו ערכים הפונקציה גזירה. ;פתרוןנתחיל עם הנקודות עבורן הפונקציה רציפה, שכן זהו תנאי הכרחי לגזירות. הנקודות בהן הפונקציה רציפה הן הנקודות בהן מתקיים השוויון: <math>2-x=\frac{1}{x}</math> בכל שאר הנקודות, ניתן לבנות שתי סדרות: אחת של רציונאליים ואחת של אי-רציונאליים שתמונותיהן יתכנסו לשני ערכים שונים ולכן היא אינה רציפה בהן. במקרה של שוויון, כל סדרה של רציונאליים, אי-רציונאליים או שילוב שלהם תתכנס ל- <math>f(x)</math> בין אם הוא רציונאלי או לא. נפתור את המשוואה ונקבל תוצאה יחידה: <math>x=1</math> , '''בנקודה זו הפונקציה רציפה.''' כעת נבדוק האם היא גזירה בנקודה זו, אם הפונקציה גזירה אזי בהכרח <math>(2-x)'(1)=(\frac1{x})'(1)</math> מנימוקים דומים, כלומר: מכיון שהגבולות <math>\lim\limits_{x\to1}\dfrac{\frac{1}{x}-1}{x-1},\lim\limits_{x\to1}\dfrac{(2-x)-1}{x-1}\in\R</math> אז לפי היינה התמונות של כל הסדרות שמתכנסות ל-1 יתכנסו לגבולות האלו. אם הפונקציה גזירה, בהכרח הגבול קיים ולכן כל הסדרות התמונות חייבות להתכנס לאותה נקודה. על כל פנים, נחזור לשוויון שהצגנו לעיל: <math>(2-x)'(1)=-1=-\frac{1}{1^2}=\left(-\frac{1}{x^2}\right)(1)=\left(\frac{1}{x}\right)'(1)</math> '''ולכן הפונקציה גזירה בנקודה''' <math>x=1</math> . ==שאלה 6=='''א.''' <math>\begin{align}\frac{d}{dx}\left(x^{\cos\big(e^{x^2}\big)}\right)&=\frac{d}{dx}\left(e^{\cos\big(e^{x^2}\big)\cdot\ln(x)}\right)\\&=e^{\cos\big(e^{x^2}\big)\cdot\ln(x)}\cdot\frac{d}{dx}\left(\cos\big(e^{x^2}\big)\cdot\ln(x)\right)=x^{\cos\big(e^{x^2}\big)}\cdot\left(\frac{\cos\big(e^{x^2}\big)}{x}-2x\cdot e^{x^2}\cdot\ln(x)\cdot\sin\big(e^{x^2}\big)\right)\end{align}</math> '''ב.''' <math>\begin{align}\frac{d}{dx}\left(\arctan\left(\frac{\ln(x)}{1+x^2}\right)\right)&=\dfrac{\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{\ln(x)}{1+x^2}\right)}{1+\left(\dfrac{\ln(x)}{1+x^2}\right)^2}\\&=\dfrac{\dfrac{\dfrac{1+x^2}{x}-2x\cdot\ln(x)}{(1+x^2)^2}}{1+\left(\dfrac{\ln(x)}{1+x^2}\right)^2}=\dfrac{\dfrac{1+x^2-4x^2\ln(x)}{x(1+x^2)^2}}{\dfrac{(1+x^2)^2+\ln^2(x)}{(1+x^2)^2}}=\frac{1+x^2\big(1-4\ln(x)\big)}{x\big((1+x^2)^2+\ln^2(x)\big)}\end{align}</math> '''ג.''' <math>\Big(x^{-n}+n^{-x}\Big)'=-nx^{-n-1}-\ln(n)\cdot n^{-x}</math>
== שאלה 5 7==