שינויים

== שאלה 1 ==יהי <math>\sum_sum\limits_{n=1}^{\infty }b_{n}b_n</math> טור חיובי.

'''א.''' הראה שאם <math>\left \{a_{n} \right a_n\}_{n=1}^{\infty }</math> סדרה המקיימת לכל <math>n </math> : <math>\Big|a_{n+1}-a_{n}a_n\Big|<b_{_{n}}b_n</math> וכן <math>\sum_sum\limits_{n=1}^{\infty }b_{n}b_n<\infty </math> אזי הסדרה מתכנסת.

''';הוכחהאם הטור מתקיים התנאים הנ"ל כלומר:'''<math>\sum\limits_{n=1}^\infty b_n<\infty</math> וגם <math>\sum\limits_{n=1}^\infty b_n</math> טור חיובי, אזי הטור מתכנס. שכן סדרת הסכומים החלקיים שלו היא מונוטונית עולה וחסומה מלעיל ולכן מתכנסת.

אם הטור מתקיים התנאים הנ"ל כלומר: <math>\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}<\infty </math> וגם <math>\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}</math> טור חיובי, אזי הטור מתכנס. שכן סדרת הסכומים החלקיים שלו היא מונוטונית עולה וחסומה מילעל ולכן מתכנסתנוכיח כי הסדרה הנה קושי וזאת באמצעות הקריטריון של קושי להתכנסות סדרות.

נוכיח כי הסדרה הינה יהי <math>\epsilon>0</math> . לפי קריטריון קושי וזאת באמצעות הקריטריון של קושי להתכנסות סדרותקיים <math>M\in\N</math> כך שלכל <math>p\in\N</math> מתקיים <math>\left|\displaystyle\sum_{k=M}^{M+p}b_k\right|<\epsilon</math> .

יהי יהיו <math>\varepsilon >0</math>. לפי קריטריון קושי קיים <mathn,m>M\in \mathbb{N}</math> כך שלכל <math>p\in \mathbb{N} </math> מתקיים <math>|\sum_{i=M}^{M+p}b_{i}|<\varepsilon </math>., אזי:

יהיו <math>n,m>M</math>, אזי:\begin{align} <math>|a_{n}a_n-a_{m}a_m|&=\bigg|a_{n}a_n-a_{n-1}+a_{n-1} - .... \cdots+ a_{m+1}-a_{m}a_m\bigg|\leq \&\le\Big|a_{n}a_n-a_{n-1}\Big| + \Big|a_{n-1}-a_{n-2}\Big| +....\cdots+\Big|a_{m+1}-a_{m}a_m\Big|\leq \&\le b_{n-1}+b_{n-2}+...\cdots+b_{m}b_m=\sum_{ik=m}^{n-1}b_{i}b_k\leq le\sum_{ik=M}^{n-1}b_{i}b_k<\varepsilon epsilon\end{align}</math>

''';דרך אחרת'''נשים לב כי <math>a_0=0,a_n=\sum\limits_{k=0}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)</math> , וכיון שהטור הזה מתכנס בהחלט כי בהחלט הוא נשלט על-ידי <math>\sum b_n</math> כך גם <math>a_n</math> מתכנסת כי התכנסות של טור שקולה להתכנסות של הסכומים החלקיים.

נשים לב ש '''ב.''' אם הטור <math>a_n=\sum_{i=0}^sum\limits_{n-=1} a_{i+1}-a_i^\infty b_n</math> אז קיימת סדרה <math>a_0\{a_n\}_{n=0 1}^\infty</math> ובגלל שהטור הזה מתכנס בהחלט כי בהחלט הוא נשלט על ידי המקיימת לכל <math>\sum b_nn</math> כך גם : <math>\Big|a_{n+1}-a_n\Big|<b_n</math> מתכנסת כי התכנסות של טור שקולה להתכנסות של הסכומים החלקייםוגם מתבדרת.

'''ב.''' אם ;הוכחהנביט בסדרת הסכומים החלקיים של הטור (עם שינוי קל): <math>S_n=\sum\sum_limits_{nk=1}^{\infty }b_{n-1}b_k</math> אז קיימת סדרה ונגדיר <math>\left \{a_{n} \right \}_{nS_1=1}^{\infty }</math> המקיימת לכל n <math>|a_{n+1}-a_{n}|<b_{_{n}}0</math> וגם מתבדרת.

נביט בסדרת הסכומים החלקיים של הטור (עם שינוי כמו כן, קל)לראות כי מתקיים התנאי: <math>\Big|S_{n+1}-S_n\Big|=\sum_left|\sum\limits_{ik=1}^{nb_k-\sum\limits_{k=1}b_{i}</math> ונגדיר <math>S_^{n-1}b_k\right|=|b_n|=0b_n</math>

הטור <math>\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}blacksquare</math> מתבדר ולכן לפי ההגדרה (כי הוספת איבר אחד בהתחלה אינה משפיעה על התכנסות או התבדרות הסדרה) הסדרה מתבדרת.

כמו כן, קל לראות כי מתקיים התנאי: ;תיקוןתהי <math>|S_{n+1}S_n</math> סדרת הסכומים החלקיים של הטור <math>\sum (b_n-S_{n}^2)</math> הטור מתבדר כהפרש של טור מתבדר בטור מתכנס מתקיים <math>\Big|=|\sum_{i=1}^{n}b_{i}s_n-\sum_{i=1}^s_{n-1}b_{i}\Big|=|b_{b_n-n}|=b_{n}^2<b_n</math> מ.ש.ל == שאלה 2 ==

'''א.''' <math>\displaystyle\sum\fraclimits_{n=1}^\infty(-1)^{n}\cdot\dfrac{\ln(n)}{n}</math>

''';פתרוןראשית נבדוק התכנסות בהחלט:''' <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left|(-1)^n\cdot\dfrac{\ln(n)}{n}\right|=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac{\ln(n)}{n}</math>

ראשית נבודק התכנסות בהחלט<math>\ln(n)>1</math> לכל <math>n\ge3</math> ולכן לכל <math>n</math> שכזה מתקיים: <math>\sum|frac1n\le\frac{(-1)^{n}\ln(n)}{n}|</math> ולפי מבחן ההשוואה הראשון הטור מכיון שהטור ההרמוני מתבדר אז <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\suminfty\fracdfrac{\ln(n)}{n}</math>מתבדר.

נביט בפונקציה <math>1<f(x)=\dfrac{\ln(nx)}{x}</math> לכל , מספיק להראות כי <math>3\leq n</math> ולכן לכל <math>n</math> שכזה מתקיים: <math>\frac{1}{n}\leq \frac{lnf'(nx)}{n}\le0</math> ולפי מבחן ההשוואה הראשון הטור מכיוון שהטור ההרמוני מתבדר אז כאשר <math>x\sum\frac{ln(n)}{n}ge3</math> מתבדר.

ידוע <math>\lim_{n\rightarrow \infty }f'(x)=\frac{1-\ln(nx)}{nx^2}=0</math> (ואם אתם לא מאמינים לי אפשר להוכיח את זה עם לפיטל) ולכן מספיק להוכיח שהסדרה מונוטונית יורדת כדי להסיק התכנסות בתנאי לפי לייבניץ':וקל לראות שהתנאי לעיל מתקיים עבור <math>x\ge e</math> ובפרט עבור <math>x\ge3</math> .

<math>f'(x)=\frac{1-ln(x)}{x^2}</math> וקל לראות שהתנאי לעיל מתקיים עבור <math>x\geq e</math> ובפרט עבור <math>x\geq 3</math>.   '''ב.''' <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^nsinn\cdot\sin\left(\fractfrac{1}{n^2}\right)</math> '''פתרון:'''

<math>\frac{\sin\left(\frac{1}{n^2}\right)}{\frac{1}frac1{n^2}}\rightarrow 1to1</math> ולכן הטורים חברים.

מכיוון מכיון <math>\sumdisplaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}</math> מתכנס אז גם <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty\sin\left(\fractfrac{1}{n^2}\right)</math>.

ולכן הטור מתכנס בהחלט.

'''ג.''' <math>\sum (-1)^n\frac{(2n)!}{n^{2n}}</math> ''';פתרון:'''  

<math>\fracbegin{align}\fracdfrac{\dfrac{(2n+2)!}{(n+1)^{2n+2}}}{\fracdfrac{(2n)!}{n^{2n}}}&=\fracdfrac{\fracdfrac{(2n+2)!}{(n+1)^{2n+2}}}{\fracdfrac{(2n)!\cdot n^2}{n^{2n+2}}}=\frac{(2n+2)!}{(2n)!\cdot n^2}\cdot \left(\frac{n}{n+1}\right)^{2n+2}=\frac{2(2nn+21)(2n+1)}{n^2}\cdot\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{2n+2}\\&=\frac{2(2nn+21)(2n+1)}{n^2}\cdot \left(\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}\right)^2\rightarrow to\frac{4}{e^2}<1\end{align}</math>

== שאלה 3 ==

== שאלה 4 == 

 '''א.''' <math>f(x)=xsinx\sin\left(\fractfrac{1}{x^2}\right)</math> בקטע <math>(0,1)</math>

<math>\lim_{x\rightarrow 0to0^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0to0^{+}}xsinx\sin\left(\fractfrac{1}{x^2}\right)=0</math>, חסומה כפול 0.

<math>\lim_{x\rightarrow 1to1^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1to1^{-}}xsinx\sin\left(\fractfrac{1}{x^2}\right)=f(1)=\sin(1)</math>. מזאת מכיוון מכיון שהפונקציה היא מנה, הרכבה וכפל של פונקציות רציפות.

'''ב.''' <math>f(x)</math> מסעיף א' בקרן <math>(1,\infty )</math>

<math>\lim_{x\rightarrow to\infty }xsinx\sin\left(\fractfrac{1}{x^2}\right)=\lim_{x\rightarrow to\infty }x^2sin2\sin\left(\fractfrac{1}{x^2}\right)\cdot \lim_{x\rightarrow to\infty }\frac{1}{x}=1\cdot 0=0</math>

<math>\lim_{x\rightarrow 1to1^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1to1^{+}}xsinx\sin\left(\fractfrac{1}{x^2}\right)=f(1)=\sin(1)</math>. מזאת מכיוון מכיון שהפונקציה היא מנה, הרכבה וכפל של פונקציות רציפות.

'''ג.''' <math>g(x)=\sin(x^2)</math> רבמ"ש בבקרן <math>(0,\infty )</math>

נניח בשלילה שהפונקציה רבמ"ש. הפונקציה <math>h(x)=\arcsin(x)</math> רציפה בתחום <math>[-1,1]</math> ולכן רבמ"ש בו.

מכיוון מכיון שהתחום <math>[-1,1]</math> הינו הנו התמונה של <math>g</math>, ההרכבה של הפונקציות רבמ"ש (לפי משפט).

לכן <math>(h\circ g)(x)=\arcsin\big(\sin(x^2)\big)=x^2</math> רבמ"ש, בסתירה להוכחה מהתירגול.

''';פתרון נוסף (עם סדרות):'''

<math>x_{n}x_n=\sqrt{\frac{3\pi }{2}+2\pi n}</math> ואת הסדרה <math>y_{n}y_n=\sqrt{\frac{\pi }{2}+2\pi n}</math> ונמשיך מכאן...

== שאלה 5 == <math>f(x):=\begin{cases}2-x</math> כאשר <math>&x\in \mathbb{Q}</math> <math>f(x):=\frac\\dfrac{1}{x}</math> כאשר <math>&x\notin \mathbb{Q\end{cases}</math>

''';פתרון:''' נתחיל עם הנקודות עבורן הפונקציה רציפה, שכן זהו תנאי הכרחי לגזירות.

בכל שאר הנקודות, ניתן לבנות שתי סדרות: אחת של רציונאליים ואחת של אי -רציונאליים שתמונותיהן יתכנסו לשני ערכים שונים ולכן היא אינה רציפה בהן.

במקרה של שוויון, כל סדרה של רציונלייםרציונאליים, אי -רציונאליים או שילוב שלהם תתכנס ל- <math>f(x)</math> בין אם הוא רציונאלי או לא. נפתור את המשוואה ונקבל תוצאה יחידה: <math>x=1</math>, '''בנקודה זו הפונקציה רציפה.''' כעת נבדוק האם היא גזירה בנקודה זו, אם הפונקציה גזירה אזי בהכרח <math>(2-x)'(1)=(\frac{1}{x})'(1)</math> מנימוקים דומים, כלומר:

מכיוון שהגבולות נפתור את המשוואה ונקבל תוצאה יחידה: <math>\lim_{x\rightarrow =1}\frac{\frac{1}{x}-1}{x-1},\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(2-x)-1}{x-1}\in \mathbb{R}</math> , '''בנקודה זו הפונקציה רציפה.'''

אז לפי היינה התמונות של כל הסדרות שמתכנסות ל1 יתכנסו לגבולות האלו. כעת נבדוק האם היא גזירה בנקודה זו, אם הפונקציה גזירה, אזי בהכרח הגבול קיים ולכן כל הסדרות התמונות חייבות להתכנס לאותה נקודה. על כל פנים<math>(2-x)'(1)=(\frac1{x})'(1)</math> מנימוקים דומים, נחזור לשוויון שהצגנו לעילכלומר:

מכיון שהגבולות <math>(2-\lim\limits_{x)'(1)=-1=-\to1}\dfrac{\frac{1}{x}-1^2}=({x-\frac{1},\lim\limits_{x^2\to1})\dfrac{(12-x)=(\frac{-1}{x})'(-1)}\in\R</math>

'''ולכן הפונקציה גזירה בנקודה <math>(2-x)'(1)=-1=-\frac{1}{1^2}=\left(-\frac{1}{x^2}\right)(1)=\left(\frac{1}{x}\right)'(1)</math>.'''

'''ולכן הפונקציה גזירה בנקודה''' <math>x== שאלה 6 ==1</math> .

<math>\begin{align}\frac{d}{dx}\left(x^{\cos\big(e^{x^2}\big)}\right)'&=\frac{d}{dx}\left(e^{\cos\big(e^{x^2}\big)\cdot\ln(x)lnx}\right)'\\&=e^{\cos\big(e^{x^2}\big)\cdot\ln(x)lnx}\cdot \frac{d}{dx}\left(\cos\big(e^{x^2}\big)lnx\cdot\ln(x)\right)'=x^{\cos\big(e^{x^2}\big)}\cdot\left(-2xln\frac{\cos\big(x)e^{x^2}sin(\big)}{x}-2x\cdot e^{x^2}\cdot\ln(x)+\frac{coscdot\sin\big(e^{x^2}\big)}\right)\end{xalign})</math>

<math>\begin{align}\frac{d}{dx}\left(\arctan\left(\frac{lnx\ln(x)}{1+x^2}\right)\right)'&=\fracdfrac{\dfrac{d}{dx}\left(\fracdfrac{lnx\ln(x)}{1+x^2}\right)'}{1+\left(\fracdfrac{lnx\ln(x)}{1+x^2}\right)^2}\\&=\fracdfrac{\fracdfrac{\fracdfrac{1+x^2}{x}-2xlnx2x\cdot\ln(x)}{(1+x^2)^2}}{1+\left(\fracdfrac{lnx\ln(x)}{1+x^2}\right)^2}=\fracdfrac{\fracdfrac{1+x^2-4x^2lnx2\ln(x)}{x(1+x^2)^2}}{\fracdfrac{(1+x^2+1)^2+(lnx)\ln^2(x)}{(1+x^2)^2}}=\frac{1+x^2\big(1-4x^2lnx4\ln(x)\big)}{x\big((1+x^2+1)^2+x(lnx)\ln^2(x)\big)}\end{align}</math>

<math>\Big(x^{-n}+n^{-x}\Big)'=-nx^{-n-1}-lnn\ln(n)\cdot n^{-x}</math>

== שאלה 7 ==