שינויים

יהי <math>\sum_sum\limits_{n=1}^{\infty }b_{n}b_n</math> טור חיובי.

'''א.''' הראה שאם <math>\left \{a_{n} \right a_n\}_{n=1}^{\infty }</math> סדרה המקיימת לכל <math>n </math> : <math>\bigg|a_{n+1}-a_{n}a_n\bigg|<b_{_{n}}b_n</math> וכן <math>\sum_sum\limits_{n=1}^{\infty }b_{n}b_n<\infty </math> אזי הסדרה מתכנסת.

אם הטור מתקיים התנאים הנ"ל כלומר: <math>\sum_sum\limits_{n=1}^{\infty }b_{n}b_n<\infty </math> וגם <math>\sum_sum\limits_{n=1}^{\infty }b_{n}b_n</math> טור חיובי, אזי הטור מתכנס. שכן סדרת הסכומים החלקיים שלו היא מונוטונית עולה וחסומה מילעל ולכן מתכנסת.

נוכיח כי הסדרה הינה הנה קושי וזאת באמצעות הקריטריון של קושי להתכנסות סדרות.

יהי <math>\varepsilon epsilon>0</math>. לפי קריטריון קושי קיים <math>M\in \mathbb{N}</math> כך שלכל <math>p\in \mathbb{N} </math> מתקיים <math>|\sum_{i=M}^{M+p}b_{i}|<\varepsilon epsilon</math>.

יהיו <math>n,m>M</math>, אזי:

<math>\bigg|a_{n}a_n-a_{m}a_m\bigg|=\bigg|a_{n}a_n-a_{n-1}+a_{n-1} - .... \cdots+ a_{m+1}-a_{m}a_m\bigg|\leq le \bigg|a_{n}a_n-a_{n-1}\bigg| + \bigg|a_{n-1}-a_{n-2}\bigg| +....\cdots+\bigg|a_{m+1}-a_{m}a_m\bigg|\leq le b_{n-1}+b_{n-2}+...\cdots+b_{m}b_m=\sum_{i=m}^{n-1}b_{i}b_i\leq le \sum_{i=M}^{n-1}b_{i}b_i<\varepsilon epsilon</math>

נשים לב ש - <math>a_n=\sum_sum\limits_{i=0}^{n-1} a_{i+1}-a_i</math> <math>a_0=0 </math> ובגלל שהטור הזה מתכנס בהחלט כי בהחלט הוא נשלט על -ידי <math>\sum b_n</math> כך גם <math>a_n</math> מתכנסת כי התכנסות של טור שקולה להתכנסות של הסכומים החלקיים.

'''ב.''' אם הטור <math>\sum_sum\limits_{n=1}^{\infty }b_{n}</math> אז קיימת סדרה <math>\left \{a_{n} \right a_n\}_{n=1}^{\infty }</math> המקיימת לכל <math>n </math>: <math>\bigg|a_{n+1}-a_{n}a_n\bigg|<b_{_{n}}b_n</math> וגם מתבדרת.

נביט בסדרת הסכומים החלקיים של הטור (עם שינוי קל): <math>S_{n}S_n=\sum_sum\limits_{i=1}^{n-1}b_{i}b_i</math> ונגדיר <math>S_{1}S_1=0</math>

הטור <math>\sum_sum\limits_{n=1}^{\infty }b_{n}b_n</math> מתבדר ולכן לפי ההגדרה (כי הוספת איבר אחד בהתחלה אינה משפיעה על התכנסות או התבדרות הסדרה) הסדרה מתבדרת.

כמו כן, קל לראות כי מתקיים התנאי: <math>\bigg|S_{n+1}-S_{n}S_n\bigg|=\bigg|\sum_sum\limits_{i=1}^{n}b_{i}b_i-\sum_sum\limits_{i=1}^{n-1}b_{i}b_i\bigg|=|b_{n}b_n|=b_{n}b_n</math>

מ.ש.ל. <math>\blacksquare</math>

יהי <math>S_n</math> סדרת הסכומים החלקיים של הטור <math>\sum b_n-n^2</math> הטור מתבדר כהפרש של טור מתבדר בטור מתכנס מתקיים <math>\bigg|s_n-s_{n-1}\bigg|=b_n-n^2<b_n</math> == שאלה 2 ==

'''א.''' <math>\sum\frac{(-1)^{n}\cdot\ln(n)}{n}</math>

ראשית נבודק נבדוק התכנסות בהחלט: <math>\sum\bigg|\frac{(-1)^{n}\cdot\ln(n)}{n}\bigg|=\sum\frac{\ln(n)}{n}</math>

ידוע <math>1<ln(n)</math> לכל <math>3\leq n</math> ולכן לכל <math>n</math> שכזה מתקיים: <math>lim\frac{1}limits_{n\to\infty}\leq \frac{\ln(n)}{n}=0</math> ולפי מבחן ההשוואה הראשון הטור מכיוון שהטור ההרמוני מתבדר אז <math>\sum\frac{ln(nואם אתם לא מאמינים לי אפשר להוכיח את זה עם לופיטל)}{n}</math> מתבדר.ולכן מספיק להוכיח שהסדרה מונוטונית יורדת כדי להסיק התכנסות בתנאי לפי לייבניץ':

ידוע נביט בפונקציה <math>\lim_{n\rightarrow \infty }f(x)=\frac{\ln(nx)}{nx}=0</math> (ואם אתם לא מאמינים לי אפשר להוכיח את זה עם לפיטל) ולכן , מספיק להוכיח שהסדרה מונוטונית יורדת כדי להסיק התכנסות בתנאי לפי לייבניץלהראות ש- <math>f':(x)\le 0</math> כאשר <math>x\ge 3</math>.

נביט בפונקציה <math>f'(x)=\frac{1-\ln(x)}{x^2}</math>, מספיק להראות שוקל לראות שהתנאי לעיל מתקיים עבור <math>f'(x)\leq 0ge e</math> כאשר ובפרט עבור <math>x\geq ge 3</math>.

  '''ב.''' <math>\sum (-1)^nsinn\cdot\sin\left(\frac{1}frac1{n^2}\right)</math>

<math>\frac{\sin\left(\frac{1}frac1{n^2}\right)}{\frac{1}frac1{n^2}}\rightarrow to 1</math> ולכן הטורים חברים.

מכיוון מכיון <math>\sum\frac{1}{n^2}</math> מתכנס אז גם <math>\sum \sin\left(\frac{1}frac1{n^2}\right)</math>. ולכן הטור מתכנס בהחלט

<math>\frac{\frac{(2n+2)!}{(n+1)^{2n+2}}}{\frac{(2n)!}{n^{2n}}}=\frac{\frac{(2n+2)!}{(n+1)^{2n+2}}}{\frac{(2n)!\cdot n^2}{n^{2n+2}}}=\frac{(2n+2)!}{(2n)!\cdot n^2}\cdot (\frac{n}{n+1})^{2n+2}=\frac{2(2nn+21)(2n+1)}{n^2}\cdot\left(1-\frac{1}frac1{n+1}\right)^{2n+2}=\frac{2(2nn+21)(2n+1)}{n^2}\cdot \Bigg(\bigg(1-\frac{1}frac1{n+1}\bigg)^{n+1}\Bigg)^2\rightarrow to \frac{4}frac4{e^2}<1</math>

== שאלה 3 ==

== שאלה 4 == 

 '''א.''' <math>f(x)=xsinx\cdot\sin\left(\frac{1}frac1{x^2}\right)</math> בקטע <math>(0,1)</math>

<math>\lim_{x\rightarrow to 0^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow to 0^{+}}xsinx\cdot\sin\left(\frac{1}frac1{x^2}\right)=0</math>, חסומה כפול <math>0</math> .

<math>\lim_{x\rightarrow to 1^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow to 1^{-}}xsinx\cdot\sin\left(\frac{1}frac1{x^2}\right)=f(1)=\sin(1)</math>. מזאת מכיוון מכיון שהפונקציה היא מנה, הרכבה וכפל של פונקציות רציפות.

'''ב.''' <math>f(x)</math> מסעיף א' בקרן <math>(1,\infty )</math>

<math>\lim_{x\rightarrow to\infty }xsinx\cdot\sin\left(\frac{1}frac1{x^2}\right)=\lim_{x\rightarrow to\infty }x^2sin2\cdot\sin\left(\frac{1}frac1{x^2}\right)\cdot \lim_{x\rightarrow to\infty }\frac{1}frac1{x}=1\cdot 0=0</math>

<math>\lim_{x\rightarrow to 1^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow to 1^{+}}xsinx\cdot\sin\left(\frac{1}frac1{x^2}\right)=f(1)=\sin(1)</math>. מזאת מכיוון מכיון שהפונקציה היא מנה, הרכבה וכפל של פונקציות רציפות.

'''ג.''' <math>g(x)=\sin(x^2)</math> רבמ"ש בבקרן <math>(0,\infty )</math>

נניח בשלילה שהפונקציה רבמ"ש. הפונקציה <math>h(x)=\arcsin(x)</math> רציפה בתחום <math>[-1,1]</math> ולכן רבמ"ש בו.

מכיוון מכיון שהתחום <math>[-1,1]</math> הינו הנו התמונה של <math>g</math>, ההרכבה של הפונקציות רבמ"ש (לפי משפט).

לכן <math>(h\circ g)(x)=\arcsin\big(\sin(x^2)\big)=x^2</math> רבמ"ש, בסתירה להוכחה מהתירגול.

<math>x_{n}x_n=\sqrt{\frac{3\pi }{2}+2\pi n}</math> ואת הסדרה <math>y_{n}y_n=\sqrt{\frac{\pi }{2}+2\pi n}</math> ונמשיך מכאן...

== שאלה 5 ==<math>f(x):=2-x</math> כאשר <math>x\in\Q</math>

<math>f(x):=2-x</math> כאשר <math>x\in \mathbb{Q}</math> <math>f(x):=\frac{1}frac1{x}</math> כאשר <math>x\notin \mathbb{Q}</math>

הנקודות בהן הפונקציה רציפה הן הנקודות בהן מתקיים השוויון: <math>2-x=\frac{1}frac1{x}</math>

בכל שאר הנקודות, ניתן לבנות שתי סדרות: אחת של רציונאליים ואחת של אי -רציונאליים שתמונותיהן יתכנסו לשני ערכים שונים ולכן היא אינה רציפה בהן.

במקרה של שוויון, כל סדרה של רציונלייםרציונאליים, אי -רציונאליים או שילוב שלהם תתכנס ל<math>f(x)</math> בין אם הוא רציונאלי או לא.

כעת נבדוק האם היא גזירה בנקודה זו, אם הפונקציה גזירה אזי בהכרח <math>(2-x)'(1)=(\frac{1}frac1{x})'(1)</math> מנימוקים דומים, כלומר:

מכיוון מכיון שהגבולות <math>\lim_lim\limits_{x\rightarrow to 1}\frac{\frac{1}frac1{x}-1}{x-1},\lim_lim\limits_{x\rightarrow to 1}\frac{(2-x)-1}{x-1}\in \mathbb{R}</math>

אז לפי היינה התמונות של כל הסדרות שמתכנסות ל1 ל- <math>1</math> יתכנסו לגבולות האלו. אם הפונקציה גזירה, בהכרח הגבול קיים ולכן כל הסדרות התמונות חייבות להתכנס לאותה נקודה. על כל פנים, נחזור לשוויון שהצגנו לעיל: <math>(2-x)'(1)=-1=-\frac{1}{1^2}=(-\frac{1}{x^2})(1)=(\frac{1}{x})'(1)</math>

== שאלה 6 == 

<math>\Bigg(x^{\cos\left(e^{x^2}\right)}\Bigg)'=\Bigg(e^{\cos\left(e^{x^2}\right)\cdot\ln(x)lnx}\Bigg)'=e^{\cos\left(e^{x^2}\right)\cdot\ln(x)lnx}\cdot \Bigg(\cos\left(e^{x^2}\right)lnx\cdot\ln(x)\Bigg)'=x^{\cos\left(e^{x^2}\right)}\cdot\Bigg(-2xln(x)2x\cdot e^{x^2}\cdot\ln(x)\cdot\sin\left(e^{x^2}\right)+\frac{\cos\left(e^{x^2}\right)}{x}\Bigg)</math>

<math>\Bigg(\arctan\left(\frac{lnx\ln(x)}{1+x^2}\right)\Bigg)'=\frac{\left(\frac{lnx\ln(x)}{1+x^2}\right)'}{1+\left(\frac{lnx\ln(x)}{1+x^2}\right)^2}=\frac{\frac{\frac{1+x^2}{x}-2xlnx2x\cdot\ln(x)}{(1+x^2)^2}}{1+\left(\frac{lnx\ln(x)}{1+x^2}\right)^2}=\frac{\frac{1+x^2-4x^2lnx2\ln(x)}{x(1+x^2)^2}}{\frac{(x^2+1)^2+(lnx)\ln^2(x)}{(1+x^2)^2}}=\frac{1+x^2-4x^2lnx2\ln(x)}{x(x^2+1)^2+x(lnx)\cdot\ln^2(x)}</math>

<math>\Big(x^{-n}+n^{-x}\Big)'=-nx^{-n-1}-lnn\ln(n)\cdot n^{-x}</math>

== שאלה 7 ==