שינויים

== שאלה 1 ==

'''א.''' הראה שאם <math>\{a_n\}_{n=1}^\infty</math> סדרה המקיימת לכל <math>n</math> : <math>\biggBig|a_{n+1}-a_n\biggBig|<b_n</math> וכן <math>\sum\limits_{n=1}^\infty b_n<\infty</math> אזי הסדרה מתכנסת.

''';הוכחה:''' אם הטור מתקיים התנאים הנ"ל כלומר: <math>\sum\limits_{n=1}^\infty b_n<\infty </math> וגם <math>\sum\limits_{n=1}^\infty b_n</math> טור חיובי, אזי הטור מתכנס. שכן סדרת הסכומים החלקיים שלו היא מונוטונית עולה וחסומה מילעל מלעיל ולכן מתכנסת.

יהי <math>\epsilon>0</math> . לפי קריטריון קושי קיים <math>M\in\N</math> כך שלכל <math>p\in\N</math> מתקיים <math>\left|\displaystyle\sum_{ik=M}^{M+p}b_{i}b_k\right|<\epsilon</math> .

<math>\biggbegin{align}|a_n-a_m\bigg|&=\bigg|a_n-a_{n-1}+a_{n-1}-\cdots+a_{m+1}-a_m\bigg|\\&\le \biggBig|a_n-a_{n-1}\biggBig| + \biggBig|a_{n-1}-a_{n-2}\biggBig|+\cdots+\biggBig|a_{m+1}-a_m\biggBig|\\&\le b_{n-1}+b_{n-2}+\cdots+b_m=\sum_{ik=m}^{n-1}b_ib_k\le \sum_{ik=M}^{n-1}b_ib_k<\epsilon\end{align}</math>

''';דרך אחרת'''נשים לב כי <math>a_0=0,a_n=\sum\limits_{k=0}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)</math> , וכיון שהטור הזה מתכנס בהחלט כי בהחלט הוא נשלט על-ידי <math>\sum b_n</math> כך גם <math>a_n</math> מתכנסת כי התכנסות של טור שקולה להתכנסות של הסכומים החלקיים.

נשים לב ש- '''ב.''' אם הטור <math>a_n=\sum\limits_{i=0}^{n-=1} a_{i+1}-a_i^\infty b_n</math> אז קיימת סדרה <math>a_0\{a_n\}_{n=01}^\infty</math> ובגלל שהטור הזה מתכנס בהחלט כי בהחלט הוא נשלט על-ידי המקיימת לכל <math>\sum b_nn</math> כך גם : <math>\Big|a_{n+1}-a_n\Big|<b_n</math> מתכנסת כי התכנסות של טור שקולה להתכנסות של הסכומים החלקייםוגם מתבדרת.

'''ב.''' אם הטור <math>\sum\limits_{n=1}^\infty b_{n}</math> אז קיימת סדרה <math>\{a_n\}_{n=1}^\infty</math> המקיימת לכל <math>n</math> : <math>\bigg|a_{n+1}-a_n\bigg|<b_n</math> וגם מתבדרת. ''';הוכחה:''' נביט בסדרת הסכומים החלקיים של הטור (עם שינוי קל): <math>S_n=\sum\limits_{ik=1}^{n-1}b_ib_k</math> ונגדיר <math>S_1=0</math>

כמו כן, קל לראות כי מתקיים התנאי: <math>\biggBig|S_{n+1}-S_n\biggBig|=\biggleft|\sum\limits_{ik=1}^n b_ib_k-\sum\limits_{ik=1}^{n-1}b_ib_k\biggright|=|b_n|=b_n</math>

מ.ש.ל. <math>\blacksquare</math>

''';תיקון''' יהי תהי <math>S_n</math> סדרת הסכומים החלקיים של הטור <math>\sum (b_n-n^2)</math> הטור מתבדר כהפרש של טור מתבדר בטור מתכנס מתקיים <math>\biggBig|s_n-s_{n-1}\biggBig|=b_n-n^2<b_n</math>

'''א.''' <math>\displaystyle\sum\fraclimits_{n=1}^\infty(-1)^n\cdot\dfrac{\ln(n)}{n}</math> '''פתרון:'''

;פתרוןראשית נבדוק התכנסות בהחלט: <math>\displaystyle\sum\bigg|\fraclimits_{n=1}^\infty\left|(-1)^n\cdot\dfrac{\ln(n)}{n}\biggright|=\displaystyle\sum\fraclimits_{n=1}^\infty\dfrac{\ln(n)}{n}</math>

<math>1<\ln(n)>1</math> לכל <math>3n\le nge3</math> ולכן לכל <math>n</math> שכזה מתקיים: <math>\frac1{n}frac1n\le \frac{\ln(n)}{n}</math> ולפי מבחן ההשוואה הראשון הטור מכיון שהטור ההרמוני מתבדר אז <math>\displaystyle\sum\fraclimits_{n=1}^\infty\dfrac{\ln(n)}{n}</math> מתבדר.

ידוע <math>\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\ln(n)}{n}=0</math> (ואם אתם לא מאמינים לי אפשר להוכיח את זה עם לופיטל) ולכן מספיק להוכיח שהסדרה מונוטונית יורדת כדי להסיק התכנסות בתנאי לפי לייבניץ':

נביט בפונקציה <math>f(x)=\frac{\ln(x)}{x}</math>, מספיק להראות ש- כי <math>f'(x)\le 0le0</math> כאשר <math>x\ge 3ge3</math>.

<math>f'(x)=\frac{1-\ln(x)}{x^2}</math> וקל לראות שהתנאי לעיל מתקיים עבור <math>x\ge e</math> ובפרט עבור <math>x\ge 3ge3</math>.